Формирование умений у младших школьников решать текстовые задачи с пропорциональными величинами через прием моделирования

Автор: Панфилова Евгения Владимировна

Организация: ГАПОУ НСО «Куйбышевский педагогический колледж»

Населенный пункт: Новосибирская область, г. Куйбышев

1. 1. Текстовые задачи с пропорциональными величинами и их виды.

Задачи с пропорциональными величинами относятся к одному из ключевых типов математических задач, встречающихся как в школьной программе, так и в повседневной практике. Они являются важным элементом изучения математики и находят широкое применение в реальной жизни. Понимание взаимосвязей между различными величинами помогает решать практические проблемы, возникающие в повседневности, науке, технике и бизнесе.

Решение задач на пропорциональность требует четкого понимания природы зависимости между величинами и умения применять соответствующие методы вычислений. Эти задачи встречаются практически повсеместно: начиная от расчета стоимости покупок и заканчивая проектированием сложных инженерных конструкций.

Данным вопросом занималось немало педагогов, но мы рассмотрим определения задач с пропорциональными величинами лишь некоторых.

Согласно определению Н.Б. Истоминой [15, 37], задача с пропорциональными величинами представляет собой такую учебную задачу, в которой устанавливается функциональная зависимость между значениями величин, выраженных числами, такими образом, что изменение одной величины влечет за собой предсказуемое изменение другой. Подход этого автора сразу заметен следующим признаком – фокусируется на важности выявления функциональных зависимостей и их роли в понимании закономерностей окружающей действительности.

По определению Бантовой М.А. [4, 109], задачи с пропорциональными величинами представляют собой учебные задания, в которых рассматриваются две или более зависимых друг от друга величин, причем изменение одной величины неизбежно сопровождается соответствующим изменением другой. Данные задачи характеризуются наличием определенной функциональной зависимости, определяющей соотношение между этими величинами.

Бантова М.А. акцентирует внимание на обучении детей пониманию механизмов взаимодействия величин и способствует формированию способностей определять характер зависимости (прямая или обратная пропорциональность). От других авторов отличает то, что этот подход подчеркивает необходимость выработки у обучающихся устойчивых представлений о характере этих зависимостей (прямая или обратная пропорциональность). Благодаря такому подходу ученики получают глубокое понимание сути функциональных связей, что особенно ценно при изучении прикладных аспектов математики и её приложений в повседневной жизни.

У Л.Н. Скаткина [22, 57] конкретного термина "текстовые задачи с пропорциональными величинами" не зафиксировано, однако его педагогическое наследие включает общие принципы подхода к обучению математике. Если рассматривать взгляды Скаткина косвенно, можно сформулировать следующее определение: текстовые задачи с пропорциональными величинами представляют собой особый класс учебных заданий, направленных на формирование умения распознавать и оперировать соотношениями между величинами, находящимися в состоянии взаимозависимости. Он рассматривает решение таких задач как элемент общего образовательного процесса, направленного на формирование универсальной компетенции анализа взаимосвязей в окружающем мире, что отличает его подход от предыдущих авторов.

Анализируя представленные три определения задач с пропорциональными величинами, можно сделать следующий общий вывод: все авторы сходятся в том, что задачи с пропорциональными величинами — это особые типы упражнений, целью которых является выявление и установление взаимосвязей между разными величинами.

В своей работе мы будем придерживаться понятия Бантовой М.А., так как её подход обеспечивает чёткую структуру для классификации и систематизации задач с пропорциональными величинами. Подход М.А. Бантовой [4, 257] больше всего используется остальными в практике учителями, поэтому мы тоже возьмём её подход за основу.

Задачи с пропорциональными величинами характеризуются наличием трех взаимосвязанных величин, среди которых две меняются, а третья остается неизменной. Обычно задаются два значения одной переменной и одно значение соответствующей другой переменной, а недостающее значение второй переменной требуется определить. В задачи такого вида входят 3 зависимых величины, которые представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1.

Зависимые величины

Мерка	Количество мерок	Величина
цена	количество	стоимость
масса 1 предмета	количество предметов	общая масса
вместимость 1 сосуда	количество сосудов	общая вместимость
скорость	время	расстояние
производительность	количество времени	объём работы

 

Рассмотрим классификацию текстовых задач с пропорциональными величинами. В статье Корневой Л.А. ««Развивающие возможности задач на пропорциональную зависимость» [18] описаны виды таких задач.

Виды задач с пропорциональными величинами:

1) задачи на нахождение четвертого пропорционального;

2) задачи на пропорциональное деление;

3. задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

Все задачи с пропорциональными величинами имеют прямую и обратную пропорциональную зависимость. Бантова М.А. дала такое определение: «Если из нескольких величин, связанных между собой, две переменные, при остальных постоянных, зависят одна от другой так, что увеличение / уменьшение одной из них в несколько раз необходимо влечёт за собой увеличение / уменьшение другой во столько же раз, то такая зависимость величин называется прямо пропорциональной. Если из нескольких величин, связанных между собой, две переменные, при остальных постоянных, зависят одна от другой так, что при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз необходимо влечёт за собой уменьшение (увеличение) во столько же раз, то такая зависимость величин называется обратно пропорциональной.»

Среди задач в два действия выделяется группа задач, решаемых приведением к единице. Это и есть задачи на нахождение четвёртого пропорционального. Решая такие задачи, учащиеся практически должны усвоить свойства величин, находящихся в прямо пропорциональной зависимости.

Задача на нахождение четвертой пропорциональной величины подразумевает ситуацию, когда имеются три взаимосвязанные величины, одна из которых постоянна, а две другие переменны. Между ними существует прямая либо обратная пропорциональная зависимость. В условиях задачи приводится пара значений одной переменной и одно известное значение другой, а именно найти требуется второе значение последней переменной.

Любые три взаимосвязанные величины, где одна из них равна произведению двух остальных, позволяют сформулировать шесть возможных задач на нахождение четвертой пропорциональной величины. Первые четыре варианта отражают прямую пропорциональность, тогда как оставшиеся два демонстрируют обратную зависимость.

Примеры задач с пропорциональными величинами на нахождение четвертого пропорционального на примере величин: цена, количество, стоимость, представлены в таблице 1.2.

Таблица 1.2.

Задачи на нахождение четвертого пропорционального

№ вида задачи	Величины			Примеры задач
	цена	количество	стоимость
1	Постоянная.	Даны два значения.	Дано одно значение, а другое является искомым.	За 2 кг моркови заплатили 30 рублей. Сколько надо заплатить за 6 кг моркови по такой же цене?
2	Постоянная.	Дано одно значение, а другое является искомым.	Даны два значения.	За 2 кг моркови заплатили 30 рублей. Сколько кг моркови можно взять на 90р?
3	Даны два значения.	Постоянная.	Дано одно значение, а другое является искомым.	За кусок льняного полотна ценой по 20р. за метр заплатили 80р. Сколько заплатили за кусок шёлкового полотна такой же длины, если его цена 40р. за метр?
4	Дано одно значение, а другое является искомым.	Постоянная.	Даны два значения.	За кусок льняного полотна ценой по 20р. за метр заплатили 80 р. Сколько метров шёлкового полотна можно взять на 160р., если количество одинаковое?
5	Даны два значения.	Дано одно значение, а другое является искомым.	Постоянная.	За 6 детских костюмов ценой по 120р. заплатили столько же, сколько за детские пальто по 360р. Сколько купили детских пальто?
6	Дано одно значение, а другое является искомым.	Даны два значения.	Постоянная.	За 6 детских костюмов по 120р. заплатили столько же, сколько заплатили за 2 детских пальто. Сколько стоит одно детское пальто?

 

Задача на пропорциональное деление — это такая задача, в которой участвуют три величины, находящиеся в соотношении прямой или обратной пропорциональности. Две из этих величин переменные, а одна или несколько остаются постоянными. Известно два или более значения одной переменной величины и сумма соответствующих значений другой переменной, при этом сами слагаемые этой суммы являются искомыми.

Исходя из различных комбинаций пропорциональных величин, выделяют шесть разновидностей задач на пропорциональное деление. Четыре из них характеризуют прямую пропорциональность, а две — обратную, которая не изучается в начальной школе.

Примеры задач на пропорциональное деление на примере величин: цена, количество, стоимость, представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3.

Задачи на пропорциональное деление

№ вида задачи	Величины			Примеры задач
	цена	количество	стоимость
1	Постоянная.	Даны два значения.	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым.	Ученица купила по одинаковой цене 6 тетрадей в клетку и 4 в линейку. Всего она заплатила 300р. Сколько стоили тетради в клетку и в линейку по отдельности?
2	Постоянная.	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым.	Даны два значения.	Ученица купила по одинаковой цене тетради в клетку и в линейку. За тетради в клетку она заплатила 180р., а за тетради в линейку – 120р. Сколько тетрадей в клетку и в линейку она купила?
3	Даны два значения.	Постоянная.	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым.	В магазине продали одинаковое количество шапок и шарфов. Шапка стоила 50р., а шарф – 30р. За все проданные вещи выручили 1600р. Сколько стоили все шапки и все шарфы в отдельности?
4	Дана сумма двух значений. Каждое из двух значений является искомым.	Постоянная.	Даны два значения.	В магазине продали одинаковое количество шапок и шарфов. Известно, что сумма цен шапки и шарфа – 80р. Всего было продано шапок на 1000р., а шарфов – на 600р Сколько стоит 1 шарф и одна шапка?

 

Задача на нахождение неизвестного по двум разностям представляет собой задачу, в которой участвуют три величины, связанные прямой или обратной пропорциональностью. Из них две величины являются переменными, а одна или несколько величин — постоянными. Заданы два или более значения одной переменной величины и разница между соответствующими значениями другой переменной, при этом сами значения этой переменной и требуется найти.

Каждая группа взаимозависимых величин позволяет выделять шесть различных видов задач на нахождение неизвестного по двум разностям, четыре из которых основаны на прямой пропорциональности, а две — на обратной, мы же разберём только 2 задачи с прямой пропорциональностью.

Примеры задач на нахождение неизвестного по двум разностям на примере величин: цена, количество, стоимость, представлены в таблице 1.4.

Таблица 1.4.

Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям

№ вида задачи	Величины			Примеры задач
	цена	количество	стоимость
1	Постоянная.	Даны два значения.	Дана разность двух значений, нужно найти искомое.	На костюмы для участников хора купили по одинаковой цене 2 куска шёлковой материи. В одном было 18м, а во втором – 15м. За первый кусок заплатили на 120р. больше, чем за второй. Сколько стоил каждый кусок материи?
2	Постоянная.	Дана разность двух значений, нужно найти искомое.	Даны два значения.	На костюмы для участников хора купили по одинаковой цене 2 куска шёлковой материи. Известно, что первый кусок материи был на 3 длиннее, чем второй. За первый кусок материи заплатили 1260р., а за второй – 1050р. Сколько метров был каждый кусок материи?

 

Так же задача имеет алгоритм решения, который подробно описывает Л.П. Стойлова [24, 84]. Она выделяет 4 этапа решения задачи:

1) анализ задачи;

2. поиск и составление плана решения задачи;
3. осуществление плана решения задачи;
4. проверка решения задачи.

Подводя итоги вышесказанному, можно сделать вывод, что задачи с пропорциональными величинами играют ключевую роль в формировании математического мышления и служат основой для развития важнейших компетенций, необходимых как в учебной деятельности, так и в реальных жизненных ситуациях. Анализ представленных определений и подходов показывает разнообразие взглядов на данную категорию задач, однако все исследователи подчеркивают важность овладения механизмами распознавания и оценки зависимостей между величинами.

Основная идея задач с пропорциональными величинами заключается в выявлении функциональных связей между показателями, изменении одной величины относительно изменения другой. Ключевыми характеристиками таких задач являются:

1) наличие трех взаимосвязанных величин, одна из которых постоянна, а две другие — переменные;

2) возможность наличия прямой или обратной пропорциональности между величинами;

3) необходимость нахождения неизвестного значения одной из переменных на основе установленных зависимостей.

Применение таких задач способствует формированию у учащихся навыков анализа, синтеза и моделирования ситуаций, развивает способность рассуждать логически и абстрактно мыслить. Важность включения задач с пропорциональными величинами в образовательный процесс обусловлена их практической полезностью и широким спектром применимости в различных областях науки и практики.

1. 2. Виды моделирования и их сущность.

 

 

Важной задачей современной системы образования является формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. В федеральных государственных образовательных стандартах идет речь о планировании результатов, который определяется не только предметными, но метапредметными и личностными результатами учащихся.

Среди познавательных УУД можно выделить особую группу – знаково – символических универсальных действий. Знаково-символические УУД предполагают овладение приёмами построения моделей. В настоящее время в школе широко используются модели.

Моделирование на уроках в начальной школе позволяет свести изучение сложного к простому. Моделирование – наглядно-практический метод обучения.

Модель представляет собой обобщенный образ существенных свойств моделируемого объекта. Мышление ребенка развивают с помощью специальных схем, моделей, которые в наглядной и доступной форме воспроизводят скрытые свойства и связи того или иного объекта.

Понятие «моделирование» интерпретируется различными способами. А.В. Белошистая [6, 45] даёт определение «моделирование» через понятие «модель». Модель – это построенный по определённым правилам аналог исследуемого объекта, процесса, ситуации, который отражает структуру связей и отношений исследуемого объекта и должен быть способен замещать его так, чтобы его изучение дало нам новую информацию об этом объекте. Таким образом, под моделированием можно понимать способ построения модели.

Мод моделированием А.А. Карпенко [17, 126] понимает метод опосредованного познания, при котором изучается не интересующий нас объект, а его заместитель (модель), находящийся в определённом объективном соответствии с познаваемым объектом, способный замещать его в некоторых отношениях и дающий при его исследовании новую информацию в моделируемом объекте.

Таким образом, под моделированием мы будем понимать метод познания интересующих нас качеств объекта модели, то есть действие с моделями, которые позволяют исследовать отдельные качества, стороны или свойства объекта или прототипа. В процессе моделирования обучающиеся учатся анализировать, обобщать, сравнивать различные компоненты, проверять и использовать различные пути преобразования модели.

А.В. Белошистая выделяла 3 вида моделирования: предметное, графическое, символическое. Автор отмечала, что моделирующая деятельность ребёнка на разных возрастных этапах реализуется в различных видах: на раннем этапе — в виде предметного конструирования, далее — в виде графического, а затем символического моделирования. Разберёмся подробно в видах моделирования, согласно материалу А.В. Белошистой.

Предметное моделирование, предложенное Анной Витальевной Белошистой, представляет собой важнейший этап в формировании навыков решения математических задач у младших школьников. Данный метод основан на прямом отображении реальной ситуации задачи путем манипулирования конкретными материальными объектами. Используя реальные предметы (карточки, игрушки, счётные материалы), дети приобретают наглядное представление о количестве, отношениях и действиях, необходимых для решения задачи. Физическое взаимодействие с предметом помогает развить наблюдательность, память, воображение и внимательность. Такой подход служит фундаментом для перехода к более сложным формам моделирования, таким как графическое и знаковое, обеспечивая уверенный старт в освоении математики. Предметными моделями могут быть модели геометрических фигур, различных по величине и размеру, фруктов для счёта, модели матрёшек, пирамидок, кукол и их одежды для сравнения по величине и размеру, модели посуды, мебели, продуктов и т. д. Пример предметной модели представлен на рисунке 1.1. В приложении 1 представлены другие примеры предметного моделирования.

 

Рисунок 1.1. – Пример предметного моделирования (для объяснения понятия «доли»)

Графическое моделирование является важным этапом в обучении решению математических задач младших школьников. Этот метод предполагает использование графических средств для представления условий задачи, что помогает детям лучше понять структуру задачи и взаимосвязи между её элементами. Этот метод развивает пространственное воображение и способность к абстрактному мышлению, а также служит мостом между предметным и знаково-символическим моделированием, помогая детям перейти от конкретных действий к более абстрактным представлениям.

Так же Анна Витальевна выделяет несколько видов графического моделирования: рисунок, условный рисунок, чертёж (масштаб), схематический чертёж, краткая запись, таблица. В приложении 2 представлен пример модели «фланелеграф».

Полный текст статьи см. в приложении.