Камо грядеши? Критический анализ программы углублённого курса алгебры и начал математического анализа в 10-11 классах

Автор: Зеличёнок Альберт Бенцианович

Организация: МАОУ «Лицей № 131»

Населенный пункт: Республика Татарстан, г. Казань

Сегодня мне хотелось бы поговорить о насущном – о том, что происходит с «наполнением» программы алгебры для 10-11 классов в рамках нынешней (назвать её современной язык не поворачивается) концепции.

Недоброй памяти министр образования РФ господин А. А. Фурсенко (да-да, тот самый, который предлагал закрыть в стране все вузы, кроме кучки лучших, определил учителей в сферу обслуживания, словно мы официанты и парикмахеры, а также публично изрёк, что педагоги и так купаются в деньгах, а потому повышать нам зарплату не следует) в далёком 2009 году на заседании коллегии РФ по вопросам сохранения и укрепления здоровья школьников заявил, что изучение высшей математики из школьного курса следует исключить, ибо оно, дескать, убивает креатив. И добавил, что «не изучал в школе высшую математику и при этом не дурнее других». Последнее, конечно, весьма спорно (я, например, резко расхожусь с г-ном Фурсенко в оценке его интеллектуального уровня), однако гораздо важнее другое. Эксцентричного, мягко выражаясь, министра давно убрали, даже само его ведомство разделено на два, но заданный им курс на изгнание высшей математики из школы продолжает своё бедоносное шествие. Попробую обосновать этот тезис.

Взглянем, к примеру, на примерную рабочую программу (далее ПРП) углублённого (!!!) изучения математики, одобренную Федеральным учебно-методическим объединением по общему образованию 22 сентября 2022 года. Это свеженькая рабочая программа, с тех пор её не изменяли. И пусть вас не обманывает слово «примерная»: существенно отклоняться от неё нельзя. Да и если бы можно было – важна сама точка зрения Минпроса РФ, которую сей документ (фактически, почти директива) отражает.

Наибольший интерес представляет ПРП по алгебре и началам математического анализа, ибо именно последние содержат тот объём высшей математики, который всё-таки изучается в школе вопреки мечтаниям бывшего министра. Как же распределено время на изучение различных тем (исходя из указанных в ПРП 140 учебных часов, то есть 4 в неделю – что, прямо скажем, слишком мало для углублённого изучения, но здесь ПРП лишь декларирует минимум, ниже которого опускаться нельзя)?

Начнём с того, что имеет хотя бы косвенное отношение к математическому анализу. На последовательности и прогрессии отводится 10 часов. При этом можно было бы, например, ввести понятие предела последовательности, но нет: глубже нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии ПРП не заходит (это фактически предел последовательности, но найденный «на пальцах», без понимания сути), сводя тему к простому повторению того, что уже изучено в 9 классе. Нет, я не отрицаю необходимость повторения, но в соответствующее оному процессу время: в начале и/или конце учебного года либо перед освоением сложной темы, в которой активно применяется некое понятие, пройденное достаточно давно.

Между тем, именно прогрессии не играют сколько-либо существенной роли в изучении пределов и непрерывности (это и есть следующая тема), а последовательности в целом играют (и весьма значительную), но ничего интересного о них (как и о пределе последовательности и его свойствах) так и не говорится.

Тема «Непрерывность функции. Производная» занимает 20 часов. На первый взгляд, это немало – но лишь на первый взгляд. На самом деле здесь скрываются вопросы, наиболее важные для развития понимания школьником 10 класса глубины и сложности математики: предел последовательности, его свойства и нахождение; предел функции на бесконечности, его свойства, существование и вычисление; предел функции в точке, а также односторонние пределы, их связь с «обычным» пределом в точке, свойства и вычисление; бесконечно большие пределы; 1-й и 2-й замечательные пределы; нахождение асимптот графиков функций; непрерывность функции; свойства непрерывных функций. И всё это касается лишь пределов и непрерывности и должно сопровождаться решением задач, между прочим. А ещё должны быть изучены дифференцируемость функции и наличие у оной производной, доказательство их тождественности; связь между дифференцируемостью и непрерывностью; геометрический и физический смысл производной; дифференциалы; свойства производной и дифференциала; производные сложной функции (ох, непростая для многих десятиклассников тема, требующая «нарешивания» значительного количества задач для закрепления навыка) и обратной функции (тоже не слишком просто); вывод формул производных всех элементарных функций; вторая производная и производные высших порядков. Всё это – из совершенно необходимого. А ведь есть ещё и желательное – например, правило Лопиталя (хотя бы без доказательства, на уровне применения).

На всё вышеупомянутое (пределы + непрерывность + производная) необходимо никак не менее 50 часов – по минимуму. А выделено 20, причём в самом конце учебного года (после этой темы имеется лишь 2 резервных часа на, условно говоря, «повторение»), когда, как прекрасно известно любому опытному учителю, минимум половина учебных часов пропадает, поглощённая праздниками, ВПР, проведением ОГЭ на территории школы и т. п.

На что же потрачены остальные часы, если их не хватило на исследование вопросов, важнейших в плане формирования правильного математического образования и теоретического мышления в целом?

Год начинается с подробного изучения множества действительных чисел (которое уже рассматривалось с не меньшей степенью скрупулёзности в 8 классе). Вот тут можно было бы гораздо глубже, чем двумя годами ранее, изучить действительную прямую, но подобного не предполагается и не требуется. Зато повторяются операции над множествами, ранее изученными в рамках вероятности и статистики. Достаточно серьёзно изучаются многочлены, а заодно рациональные уравнения и неравенства и системы линейных уравнений (последние проходили в 7, 8, 9 классах – казалось бы, уже хватит, но нет). На всё отведено 28 часов – с запасом, можно никуда не торопиться. Хотя тема чисто «техническая» (то есть требующая лишь владения определёнными техниками, но не формирующая глубину понимания) и достаточно простая в освоении (на декларируемом ПРП уровне уж точно).

«Функции и графики. Степенная функция с целым показателем». 12 учебных часов. Вроде бы и немного, но… Конечно, функция – вообще одно из важнейших математических понятий в школьном курсе, однако что школьники узнают нового по сравнению с 8 и 9 классами? Строго говоря, абсолютно ничего. Графики дробно-линейных функций уже строили (а степенных с натуральным показателем – аж в 7 классе, с целым отрицательным – в 8-ом), элементарное исследование функций производили. Короче, ещё 12 часов потрачено на повторение.

«Арифметический корень n-ой степени. Иррациональные уравнения». 18 часов. Эти корни изучили вдоль и поперёк в 9 классе. Иррациональные уравнения и неравенства в достаточном количестве решали там же. В 10 классе разве что обобщили ранее известное. На пределы и производные выделено лишь на 2 часа больше – казалось бы, из-за нехватки времени, а его, оказывается, вдоволь.

«Показательная функция. Показательные уравнения». 10 часов. Более-менее адекватно.

«Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения». 18 часов. Даже с учётом доказательства свойств логарифмов как-то многовато. Тема, как и предыдущая, чисто «техническая». Формул вроде и немало, но они простые. Приёмы и методы элементарные. Ввиду этого не только неясно, для чего на тему выделено так много часов, но и вызывает полное недоумение, ради какой высшей цели показательные и логарифмические неравенства перенесены в 11 класс.

Вообще это выглядит странным развлечением автором данной ПРП – резать темы «по живому» и отправлять их неотъемлемые части в 11 класс. В особенности это касается почему-то неравенств: показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения изучаются в 10 классе, а соответствующие неравенства – в 11-ом. Хотя никакого качественного скачка при переходе от уравнений к неравенствам не происходит, и ни малейших внятных причин поступать так сформулировать невозможно.

На тригонометрические выражения и уравнения выделено 22 часа. Формул здесь много, на их отработку требуется время, так что логические основания для столь щедрого жеста есть.

И лишь оставшиеся 32 часа посвящены началам математического анализа – подробности смотрите выше.

Перейдём к 11 классу.

Год начинается с исследования функций с помощью производных. 24 часа из условных 140 – это солидно и, в общем, вполне оправданно, ибо тут следует изучить приложения производных не только к исследованию функций на монотонность и экстремумы и к нахождению наибольшего или наименьшего значений функции на отрезке (чем ограничивается ПРП), но и к свойствам, связанным со второй производной, и в итоге к построению графика. А ещё надо разобраться с применением производных к доказательству тождеств и неравенств и, по возможности, к приближённым вычислениям. Кстати, нахождение производной сложной функции, по совсем уж неясным причинам исчезнувшее из программы 10 класса (хотя вычисление производных проходят именно тогда), обнаруживается как раз здесь.

Далее мы обращаемся к теме «Первообразная и интеграл». 12 часов. На первообразную; неопределённый и определённый интегралы; исследование их свойств и соответствующих методов интегрирования; изучение приложений интегралов к задачам геометрии и физики; введение понятия дифференциального уравнения, его общего, частных и особых решений (и нахождение оных для хотя бы самых простых дифференциальных уравнений); составление дифференциальных уравнений по заданным требованиям к интегральной кривой. На вот это всё, без знания чего представить выпускника математической школы невозможно (а данная ПРП, напомню, нацелена именно на углублённое преподавание), «отвалено» аж целых 12 часов. Помнится, вышеупомянутый экс-министр Фурсенко делился наболевшим: дескать, гениальных учителей математики на всех не хватит, так что упростим программу до такого уровня, чтобы с ней справлялись даже тот контингент, который выпускают убогие наши педвузы. Однако и педагогический гений не сумел бы в изучении интегралов за 12 часов добиться чего-либо, кроме профанации.

Но если нет времени на одну из важнейших тем старшей школы, то на что же оно уходит?

16 часов на графики тригонометрических функций (уже изученные в 10 классе) и тригонометрические неравенства. 24 часа (!!!) на иррациональные, показательные и логарифмические неравенства (часов 8 на всё это вместе было бы уже слишком много). 10 часов на натуральные и целые числа (материал 8 класса). 12 часов на системы рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений. (А вы думали, мы наконец-то оставили эту область математики в покое? Нет, мы будем заниматься этим примитивом, не требующим сколько-либо существенного понимания, но лишь техники – причём тоже простейшей – до тех пор, пока у детей эта перловая каша «от алгебры» из ушей не полезет!) 16 часов на задачи с параметрами. (Тут ничего плохого не скажу – пусть по факту это тоже повторение, но с изучением некоторых новых методов, в частности, графических, причём довольно любопытных и непростых. И, главное, здесь хотя бы думать надо и понимать тонкости – что, собственно, и отличает профессионального математика от, к примеру, тоже применяющих формулы инженера или социолога.) 16 часов на повторение в конце учебного года. (В преддверии ЕГЭ последнее необходимо, конечно.)

И лишь изучение комплексных чисел разбавляет это «пиршество» почти сплошного повторения и чисто «технической» тематики. Впрочем, выделенные 10 часов (столько же, сколько на давно известные выпускникам натуральные и целые числа) не позволяют погрузиться в данную область математики сколько-либо серьёзно – так, проскакать по поверхности и создать общее впечатление.

Подведём итоги. Из 280 (минимально возможных для «углублёнки») часов алгебры в 10-11 классах ПРП лишь 56 часов предлагает отвести на то, что может быть отнесено к высшей математике – а если быть точным, к математическому анализу (на пределы, производные и интегралы). Пятую часть учебного времени. Остальное отдано либо «технической» тематике, либо повторению. Ни то, ни другое не требует особого понимания предмета (задачи с параметрами тут единственное исключение, не меняющее общей картины), но лишь определённых умений, трудолюбия и усидчивости. И не вызывает никакого интереса именно у самых любознательных, сильных и способных школьников. (Слава богу, они у нас ещё есть – хотя бы в физматшколах – и им интересны именно новые знания и сложные вопросы, а не бесконечное унылое повторение и оттачивание до неописуемой остроты техники решения уравнений и неравенств. Таких учеников немного. Но именно это игнорируемое создателями и вдохновителями подобных программ меньшинство и будет двигать вперёд нашу науку – если мы не загубим их креатив, любознательность и страсть в зародыше.).

Что же происходит в обычных, средненьких наших школах, если «углублёнке» предлагается вот это вышеописанное?!

Конечно, те учителя математики, которые любят свой предмет и не готовы смириться с ролью статистов-функционеров, стараются как-то противостоять подобным тенденциям, несмотря на все ПРП и прочие «высокомудрые» циркуляры.

Однако получается так, что г-н Фурсенко давно оставил свой пост, а его неблагородное дело низведения преподавания математики в школе до уровня плинтуса живёт и побеждает. И Минпрос РФ всемерно это поддерживает. С упорством, достойным куда лучшего применения.

1. file0.doc (63,0 КБ)

Опубликовано: 21.01.2025