Аничков Д.С. «Теоретическая и практическая Арифметика» (к вопросу об учебниках арифметики в школах России конца XVIII – XIX вв.)

Автор: Плотникова Лариса Николаевна

Организация: ГБОУ школа № 203

Населенный пункт: г. Санкт-Петербург

В данной статье автор пишет о том, что учебники, применяемых в школах России конца XVIII – XIX вв., представляют интерес как с исторической, так и с методической точек зрения. В содержится богатый материал, который может быть использован в современной педагогической практике.

Ключевые слова: история образования, школы России к. 18 – н. 19 в., Аничков Д.С., арифметика.

Рис.1.

В отечественной историографии вопросу истории образования в XVIII – XIX вв. уделено значительное количество внимания, написано много работ. Авторы отдают предпочтение таким темам, как политике образования, типы и количество школ, численность и состав учащихся, учебные планы. Вопрос школьных учебников, в частности, учебников по математике, остается открытым. В России во второй половине XVIII в. в результате пересмотра содержания образования и методик преподавания, вызванных развитием естественных и точных наук, появляется значительное число книг, пособий и учебников по математике, как переводных, так и авторских. Один из них – «Теоретическая и практическая Арифметика, в пользу и употребления юношества» Аничкова Д.С. (см. рис.1)

 Аничков Дмитрий Сергеевич (1733-1788 гг.)– отечественный философ-просветитель, первый русский профессор. Родился в семье подьячего Троице-Сергиевой лавры, окончил семинарию, а затем Московский университет, куда был переведен в числе лучших учеников. Еще будучи студентом, преподавал геометрию и тригонометрию в гимназии при университете. По решению Конференции университета составил ряд учебников, в том числе, по математике. Внес вклад в становление математической терминологии. Его «Арифметика» снабжена точными и понятными формулировками, что в значительной степени отличает этот учебник от его предшественников. «Арифметика» была издана несколько раз: первое издание вышло в 1764 г., учебник пересматривался и перерабатывался, и повторные издания – в 1775, 1786, 1793 гг. Первоначально учебник был написан для Морского кадетского корпуса, позже по нему учились и в гимназиях.

Обратим внимание на моменты, заслуживающие внимания с исторической и методической точек зрения. С первых страниц мы узнаем, как понимали математику в XVIII в.: «математика – это наука о количествах, которая показывает, как из знакомых количеств находить другие, нам ещё неизвестные». Количество это то, что состоит из равных частей. Количество это число, поэтому наука о числах это арифметика. При изучении тел недостаточно знать их размеры и количество равных частей, нужно знать, как они между собой связаны, в каком отношении находятся размеры разных тел. Все это изучает геометрия или землемерие. Таким образом, математика состоит из двух частей - арифметики и геометрии; тригонометрия (часть геометрии) - ее третья часть. Поскольку математика рассуждает о количестве «чистом», без самих вещей, то эти три части составляют «математику чистую». Те части математики, которые показывают ее применение, называется «математика смешанная». Последняя содержит такие части, как механика, гидростатика, оптика, акустика, архитектура гражданская, архитектура военная.

«Арифметика наука о том, как из данных чисел находить другие, о которых даётся какое-то свойство». Разделена на две части – арифметику теоретическую, «которая изучает свойства чисел и все то, что из свойств следует», и арифметику практическую, которая изучает применение свойств чисел при решении практических задач. Теоретический курс содержит материал от «счисления цыфров» («написания и выговора чисел») до логарифмов. В курсе содержатся такие темы, как понятие о числе, четыре арифметических действия, десятичные и обыкновенные дроби, пропорция, арифметическая и геометрическая прогрессии, квадратный и кубический корни, логарифмы. Такой обширный курс был рассчитан на два первых класса, т.е. на первые два года обучения. В Морской корпус поступали дети, как правило, в возрасте 12 лет, и к 14 годам они оканчивали курс чистой арифметики.

Из первой главы «О началах Арифметики» мы узнаем, что целое число получается, «когда единица несколько раз повторенная равна будет точно предложенной величине». Четное и нечетное числа назывались «ровным» и «неровным» числами соответственно. Под четным или «ровным» понималось число, которое заключает в себе несколько равных чисел, а нечетное, или «неровное» число, которое отличается от «ровного» на 1. Числа одного рода те, которые означают подобные части одного и того же числа. Числа разного рода те, которые являются частью целого, но у которых разное содержание (например, час, день, сутки, последние два могут быть разделены на 24 часа).

Считаем нужным отметить следующий важный, с методической точки зрения, два момента. Во-первых, автор подробно показывает запись и чтение чисел, их состав по разрядам, не только в арабской но и в римской нумерациях. Во-вторых, каждое математическое понятие или арифметическое действие вводятся в определенной последовательности, которая названа «математическим способом учения»: сначала водится определение понятия; затем аксиома, теорема и задача; в конце даются примечания. Так, после определения сложения, которое понимается как «действие, чрез которое двум или многим числам одного рода находится одно равное», приводится доказательство самого действия; далее «задачи» на выполнения сложения «в строчку» и «в столбик». Далее следуют теорема о сложении (правило нахождения неизвестного слагаемого). В примечании дано правило умножения на число, оканчивающееся нулем. Вычитание понимается как «способ находить число, которое будучи взятым с одним из данных чисел, равнялось бы другому данному числу». После доказательства следуют теоремы, которые сегодня мы называем правилами нахождения неизвестного уменьшаемого и неизвестного уменьшаемого. Аналогично представлены действия «умножение» и «деление». Такая подача теоретического материала объясняется тем, что автор писал учебник не только для тех, кто посещает учебное заведение, но и для тех, кто будет изучать арифметику самостоятельно. А для этого необходимы подробные объяснения и определенная последовательность в изложении теоретического материала.

Для каждого арифметического действия приводятся два способа его выполнения - «в строчку» и «в столбик». По мнению автора, умножение «в столбик» удобно, когда один из множителей – однозначное число. Когда же умножаются двузначные числа, то применяют таблицу, или решетку, которую автор называет Пифагоровой (см. рис. 2).

При оперировании с числами разных родов сначала выполняется «раздробление - приведение чисел разного рода к наименьшему наименованию». Для этого используются таблицы времени, денег, веса и т.д., принятых в России и в Европейских странах в XVIII в.. В качестве примера приводим изображение двух таких таблиц (см. рис. 3 и 4).

рис.2

На все вычисления даны правила с примечаниями, поскольку «…прилежно и внимательно учащийся без особливого в том наставлении оные уразумеет, всего основание и причину усмотрит…», т.е. учебник рассчитан не только на среднего ученика, но и на более успешных учащихся.

Еще один, с нашей точки зрения, важный и полезный методический момент. В каждой отдельно взятой теоретической части содержится значительное количество задач, которые выстроены по принципу «от простого к сложному», даны задачи с решениями и без решения. Это дает нам право назвать их обучающими.

 рис. 3                                                                    рис. 4

Так, при объяснении теории об оперировании с числами в разных родах в качестве обучающих автор приводит следующие задачи:

1) «сделать раздробление чисел в разных родах, разных родов числа привести к наименьшей»;

2) из числа, представленного в меньшем сорте, выключить большие сорты»;

3) сложить 100 руб. 8 грив. 9 коп. и 15 руб. 2 грив. 6 ко́п. Сложение выполняется по сортам, аналогично сложению «в столбик»;

100 руб. 8 грив. 9 коп.

15 руб. 2 грив. 6 ко́п.

116 руб. 1 грив. 5 коп

4) перемножить числа в разных родах;

Далее следуют задачи практического содержания (порядка 100 задач). Приведем некоторые из них:

1. «Вопрошается: 37 сажен сколько сделают вершков? Ибо в одной сажени 48 вершков; ибо в данном числе 37 раз по 48 или умножим 37 на 48, выйдет 1776 вершков».
2. «В 734 верстах (расстояние между Петербургом и Москвою) спрашивается, сколько есть сажен, аршин и вершков особливо? 1 верста содержит 500 сажен, 734 ∙ 500 = 367000 сажен в 734 верстах; 1 сажен содержит 3 аршина, 734 ∙ 367000 = 1101000 – число аршин; 1 аршин содержат 16 вершков, 734 ∙ 1101000 = 27616000 – число вершков»;
3. «Надобно знать, в 5 пудах, 18 фунтах, в 20 лотах, и в 2 золотниках, сколько будет золотников, или все данное количество раздробить в золотники»
4. «В 546 копейках сыскать сколько будет рублей»;
5. «В 132000120 Английских футах (окружности земной) сыскать, сколько верст»;
6. «Некто родился 1672 года Мая 31 дня, а скончался 1725 года Генваря 25 числа; (н.з.) время его жизни»;
7. «Для некоторого строения нанято работных людей 120 человек, а каждому в день по 8 копеек с деньгою, и оные были в работе с 1 Мая по 17 Августа; (н.з.) сколько им за все это время, выключая шабашных 21 день, заработных денег дать надлежит?»
8. «Надлежит вычислить, сколько Итальянская миля содержит в себе Российских верст».

Интерес представляет введение понятий пропорции, прогрессии и логарифмов. Понятия пропорции и прогрессии автор вводит через понятие «содержание». Так, «если два числа сравниваются в рассуждении их разности, то такое сравнение называется содержанием арифметическим; если сравнение через деление, то геометрическим». В арифметическом содержании результат сравнения называется разностью, в геометрическом содержании – знаменателем. Пропорцией называются два или несколько равных содержания. Пропорция называется непрерывной, если первый член относится ко второму, так же как второй к третьему. Тот член, который два раза применяется в сравнение, называется средней пропорциональной. Например, в арифметической пропорции «3:5=5:7» 3 меньше 5 на два, точно так же 5 меньше 7 на два, а 5 – среднее пропорциональное; в геометрической пропорции «3:9=9:27» 3 меньше 9 в три раза, точно так же 9 меньше 27 в три раза. «Прогрессия есть порядок количеств одного рода в одинаковом содержании продолжающихся, если между ними одинаковая разность (знаменатель)». Далее следуют теоремы о пропорциях и прогрессиях (с их доказательствами). Остановимся на некоторых теоремах (незнакомых современному школьнику). Согласно теореме 8 («в пропорции геометрической непрерывной произведение двух крайних членов равно среднему, самому на себя умноженному»), в пропорции «3:9=9:27» произведение крайних членов 3 и 27 равно 81, среднее число, на себя умноженное, тоже равно 81. Согласно теореме 9 («в пропорции геометрической члены содержатся, также как второй к первому, так четвертый к третьему»), в пропорции «5:25=7:35» число 25 относится к 5 так же, как 35 относится к 7. Согласно теореме 10 «в пропорции геометрической члены между собою содержатся так же, как первый к третьему, так второй к четвертому», в пропорции «5:25=7:35» число 5 относится к 7 так же, как 25 относится к 35, т.е 5:7 = 25:35. И так далее.

Понятие логарифма автор вводит через арифметическую и геометрическую прогрессии. «Ежели под геометрическою прогрессиею, начинающейся с единицы, подписана будет арифметическая прогрессия, начинающаяся с нуля, то числа, внизу подписанные, называются логарифмы верхних чисел». Например, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

то логарифм единицы будет 0, логарифм 4 будет 2 и т д. Т.е. логарифм - это степень знаменателя геометрической прогрессии. Поскольку таких последовательностей можно составить сколько угодно, то и таблиц логарифмов тоже может быть сколько угодно. Одна из таких таблиц представлена на рис. 5. Таблицы логарифмов, которые употребляли в то время, основаны на двух следующих прогрессиях: 1, 10, 100, 100; и 0,000 1,000 2,000 3,000. Значит, логарифм чисел от 1 до 10 меньше единицы, логарифм чисел от 10 до 100 от 1 до 2 и т д. Как видим, автор берет во внимание только десятичные логарифмы. Алгоритм вычисления логарифма довольно сложен, и автор дает подробную пошаговую инструкцию.

Далее, согласно принятой автором последовательности изложения материала, расположены теоремы о логарифмах (сегодня мы называем их свойствами) и ряд обучающих задач с их решениями. Согласно теорема 1 «логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов, множимых чисел». Согласно теореме 2 «логарифм частного есть разность и логарифмов делимого и делителя». И т.д. (В учебнике термин «логарифм» записан на русском языке, не используется знакомая нам латинская запись log a).

Подведем итоги. Отметим ряд методических «плюсов» учебника:

1. 1. 1. 1. Довольно обширный материал курса выстроен по принципу «от простого к сложному».
         2. Поскольку под наукой автором понимается «…навык, или способность утверждаемое о вещи доказывать из оснований, не подлежащих сомнению,…», то все теоремы и примечания к ним доказываются.
         3. Для каждого арифметического действия представлены подробные алгоритмы, описание решения, показаны различные способы выполнения арифметических действий.
         4. Для каждой темы содержится богатая подборка обучающих задач (в том числе практических задач), которые можно сегодня применять на дополнительных занятиях, например, на занятиях математического кружка или занятиях внеурочной деятельности.

Список литературы:

1. Аничков Д.С.  Теоретическая и практическая Арифметика, в пользу и употреблениеюношества, собранная из разных авторов магистром Дмитрием Аничковым. 1-у изд. Москва: при Императорском Московском Университете, 1764 - 271 стр.

1. file0_adc8e674-615d-4b46-ac7c-fba441579f20.docx (23,9 МБ)

Опубликовано: 14.11.2024