Программа курса «Решения уравнений высших степеней»

Автор: Макеева Юлия Каирбековна

Организация: МБОУ г. Астрахани «СОШ 40»

Населенный пункт: Астраханская область, г. Астрахань

ВВЕДЕНИЕ

Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющий, с одной стороны, обеспечить базовую систематическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

Данная проблема обозначила необходимость создание программы спецкурсов с более глубоким изучением некоторых тем,в том числе и темы « Решения уравнений высших степеней»

Рассмотрение различных видов уравнений и способов их решения будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы
с заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- свободно оперировать аппаратом алгебры при решении уравнений;

- отличать уравнения высших степеней различных типов и знать способы их решения;

- строить графики различных функций, чего будет достаточно для успешного написания второй части ОГЭ и ЕГЭ по математике.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Общие методы решения уравнений всех типов (рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических):

1.Графический метод.

Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций у=ƒ(x) и у=g(x), входящих в уравнение ƒ(x) = g(x). Это может помочь выяснить:

1) на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения;

2) наличие или отсутствие корней, их количество.

2. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата.

Этот метод основан на использовании формул:

а²-b²=(а-b)(а+b)

a²+2ab+b²=(a+b)²

a²−2ab+b²=(a−b)²

а³+b³=(а+b)(а²-аb+b²)

а³-b³=(а-b)(а²+аb+b²)

(а+b)³=а³+3а²b+3аb²+b³

(а-b)³= а³-3а²b+3аb²-b³, и метода группировки.

Выделение полного квадрата - это такое тождественное преобразование,

при котором заданный трехчлен представляется в виде (a±b)²

суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.

3. Метод разложения на множители. Вынесение общего множителя. Группировка.

Способ группировки можно разбить на два этапа:

1) Объединение членов многочлена в группы, имеющие общий множитель, и вынесение из каждой группы общего множителя (в одной из групп общего множителя может не быть).

2) Вынесение полученного общего для всех групп множителя за скобки.

4. Метод понижения степени. Теорема Безу.

Только в 11 веке таджикский поэт и ученый Омар Хаям впервые решил уравнение III степени. А установить, существует ли формула для нахождения корней любого уравнения, пытались многие. С тех пор математика пошла другим путем. Ученые стали искать другие методы решения уравнений высших степеней. Одним из них является метод разложения многочлена на множители с использованием теоремы Безу.

Формулировка теоремы Безу: Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x – a) равен P(a).

Следствия из теоремы Безу

1.Число a - корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен (x – a).

Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения P(x) = 0.

2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше:

если P(a) = 0, то заданный многочлен P(x) можно представить в виде:

P(x) = (x – a)Q(x)

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена Q(x), степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни заданного многочлена.

5. Метод понижения степени. Схема Горнера.

Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена

Pn(x)=a₀xn+a₁xⁿ⁻¹+a₂xⁿ⁻²+…+a_n−1x+a_n

на бином x−a. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a: Р(х)=

 

• деления многочлена n-ой степени на бином x−a, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна n−1. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать
  на примерах.

6. Метод замены переменной.

В тех случаях, когда исходное уравнение может быть приведено
к виду ƒ(g(x)) = 0, заменой t = g(x) уравнение сводится к решению уравнения ƒ(t) = 0. Далее для каждого полученного корня t_k решается уравнение g(x) = t_k.

6. Метод замены переменной.

В тех случаях, когда исходное уравнение может быть приведено
к виду ƒ(g(x)) = 0, заменой t = g(x) уравнение сводится к решению уравнения ƒ(t) = 0. Далее для каждого полученного корня t_k решается уравнение g(x) = t_k.

8. Метод введения параметра.

Метод введения параметра позволяет нестандартное уравнение привести к уравнению привычного вида (например, к квадратному уравнению).

Рассмотрим конкретные примеры уравнений, которые можно решить методом введения параметра.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Программа курса «Решение уравнений высших степеней» позволит сделать достаточно полный обзор изученных типов уравнений и предполагает рассмотрение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики,
но необходимы при сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике и дальнейшем ее изучении.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М.А.Еремин «Уравнения высших степеней» - Арзамас, 2003.

2. А.Г.Курош «Алгебраические уравнения произвольных степеней» - М.:Наука, 1975.

3. Л.М.Лоповок «1000 проблемных задач по математике» - М.: Просвящение, 1995.

4. И.Р.Шафаревич «Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней» Вып.15 – М.: Наука, 1954.

1. file0.doc.. 48,0 КБ

Опубликовано: 04.03.2024