Теория вероятностей и статистики. Краткий курс

Автор: Миронова Марина Сергеевна

Организация: МАОУ СШ №159

Населенный пункт: Красноярский край, г. Красноярск

Автор: Волкова Наталья Михайловна

Организация: МАОУ СШ №159

Населенный пункт: Красноярский край, г. Красноярск

План:

1. Начала теории вероятностей
2. События, виды событий
3. Вероятность
4. Теоремы сложения и умножения
5. Условная вероятность
6. Комбинаторика. Факториал. Перестановки. Сочетания. Размещения.
7. Формула Байеса
8. Испытания Бернулли.
9. Математическая статистика. Выборка. Числовые характеристики и их смысл.

 

1.Начала теории вероятностей

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Джероламо Кардано, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний.

В XVIII веке важное значение для развития теории вероятностей имели работы Томаса Байеса, сформулировавшего и доказавшего Теорему Байеса.

В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений: Виктор Буняковский, продолжая исследования Михаила Остроградского, в своих работах вывел первые основные формулы; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Карл Гаусс детально исследовал нормальное распределение случайной величины (см. график выше), также называемое «распределением Гаусса».

Во второй половине XIX века значительный вклад внёс ряд европейских и русских учёных: П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова.

Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

В природе, да и в обыденной жизни мы часто имеем дело с явлениями случайными, то есть с ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть.

Полный текст статьи см. в приложении.

1. file0.docx.. 170,9 КБ

Опубликовано: 05.02.2024