Материал по подготовке к ЕГЭ 2027. Задание №6 по «Вероятности и статистике»

Автор: Ефремова Людмила Алексеевна

Организация: ГБОУ «Школа №22 г.о. Горловка» ДНР

Населенный пункт: Донецкая Народная Республика, г. Горловка

Актуальность

В 2027 году в ЕГЭ по профильной математике обновили структуру — и номера заданий поменялись. В демоверсию ЕГЭ 2027 по профильной математике добавили три задания: № 6 и № 13 в первую часть, № 17 — во вторую.

В часть 1 добавлено задание 6, проверяющее умения оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины.

В плане экзаменационной работы 2027 года у задания № 6 записано требование 8 и раздел кодификатора 6 «Вероятность и статистика». Формулировка проверяемого умения такая:

• Формулировка ФИПИ

«Умение оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, функции распределения и плотности равномерного, показательного и нормального распределений; умение использовать свойства изученных распределений для решения задач».

Выпускнику понадобятся следующие понятия:

• случайная величина;
• распределение вероятностей;
• математическое ожидание;
• дисперсия;
• стандартное отклонение.

В демоверсия показана одна модель задания № 6. В примере выпускник вычисляет математическое ожидание выигрыша по лотерейному билету. В спецификации 2026 года такого задания не было, так что формат может ещё уточниться.

Формат: краткий ответ (число).

Балл: 1 первичный.

На практике почти всё сводится к таблице распределения и математическому ожиданию.

На данный момент на сайте ФИПИ Открытый банк заданий не обновлён. Материал, представленный ниже составлен с учётом требований спецификации.

 

Теоретические сведения

Случайная величина — это число, которое получается в результате опыта: выигрыш по билету, число очков на кости, число орлов при четырёх бросках монеты.

Пусть X – случайная величина, а её возможные значения - x₁, x₂, … , x_n с вероятностями p_1, p_{2, … ,} p_n.

Закон (таблица) распределения перечисляет все значения и их вероятности:

xi	x1	x2	x3	…	xn
pi	p1	p2	p3		pn

Значения в таблице должны покрывать все исходы, поэтому вероятности в сумме дают единицу:

p₁ + p₂ + ⋯ + p_n = 1.

Это первая и самая важная проверка: если сумма не равна 1, значит потеряли исход (чаще всего «ничего не выиграл» или «событие не произошло»).

 

Математическое ожидание случайной величины Е(Х) - это её среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний.

Смысл: если повторить опыт очень много раз, среднее арифметическое полученных значений будет близко к Е(Х).

Математическое ожидание случайной величины Е(Х) вычисляется как сумма значений этой случайной величины, умноженных на вероятности этих значений.

Е(Х) = х₁ ∙ p₁ + х₂ ∙ p₂ + х₃ ∙ p₃ + ⋯ + х_n ∙ p_n.

Свойства математического ожидания

Свойства позволяют не строить таблицу, когда величина собрана из более простых:

1) E(X+Y) = E(X)+E(Y)

Это равенство верно всегда — независимость не нужна. Остальные свойства:

2) E(cX) = cE(X) — постоянный множитель выносят;

3) E(c) = c — ожидание постоянной равно ей самой;

4) E(X+c) = E(X)+c — сдвиг сдвигает ожидание;

 5) E(XY)=E(X)E(Y) — только для независимых величин.

Пример: ожидание суммы очков на двух костях равно

3,5+3,5=7 — таблицу из 11 значений строить не нужно.

 

Дисперсия D(X) - это статистический показатель, который измеряет разброс значений в наборе данных относительно их среднего значения. Она показывает, насколько сильно данные отклоняются от нормы. Чем больше дисперсия, тем сильнее разброс и выше неоднородность данных.

По определению дисперсия - это ожидание квадрата отклонения:

4. (X) = E((X – E(X))²) (1)

Для решения задач на нахождение дисперсии удобнее использовать формулу

D(X) = E(X²) – (E(X))², (2)

где E(X²) – математическое ожидание квадрата случайной величины Х

E(X²) = x12 ∙ p₁ + x22 ∙ p₂ + x32 ∙ p₃ + ⋯ + xn2 ∙ p_n.;

(E(X))² – квадрат математического ожидания случайной величины Х.

Важно: дисперсия никогда не бывает отрицательной.

Полный текст статьи см. в приложении.