Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Автор: Букреева Полина Валерьевна

Организация: МАОУ СШ №6

Населенный пункт: Красноярский край, г. Красноярск

Автор: Беркут Ольга Алексеевна

Организация: МАОУ Гимназия №13 «Академ»

Населенный пункт: Красноярский край, г. Красноярск

Каждое алгебраическое уравнение имеет свою геометрию. Пока мы считаем — мы решаем пример. Когда начинаем строить — мы начинаем понимать математику.

Современное математическое образование ориентировано не только на формирование предметных знаний, но и на развитие исследовательского мышления, пространственного воображения и умения использовать различные способы решения одной задачи. Именно поэтому особую актуальность приобретают занятия, позволяющие обучающимся самостоятельно открывать математические закономерности через эксперимент, построение и анализ.

Предлагаемый материал организует деятельность обучающихся по изучению одного из малоизвестных геометрических способов решения квадратных уравнений — метода А.А. Пресмана, основанного на построении окружности по трем опорным точкам.

Работа может быть использована как при изучении темы «Квадратные уравнения», так и на занятиях математического кружка, элективного курса или в рамках проектной деятельности.

Цель: организовать исследовательскую деятельность обучающихся по изучению геометрического способа решения квадратных уравнений посредством построения окружности циркулем и линейкой.

Методические особенности заданий:

• Рабочий лист ученика построен по принципу поэтапного открытия нового знания.
• Рабочий лист включает три блока задач: от базового построения до исследования параметров.
• Задачи подобраны так, чтобы ученик прошел путь: "Увидел — Построил — Проанализировал".
• Обучающийся не получает готовый алгоритм, а самостоятельно проходит все этапы исследования:

• анализ коэффициентов квадратного уравнения;
• вычисление координат характерных точек;
• выполнение геометрических построений;
• наблюдение полученного результата;
• сравнение геометрического и аналитического способов решения;
• формулирование выводов.

 

Подобная организация соответствует технологии деятельностного обучения и требованиям обновленных ФГОС.

Работа может проводиться:

• индивидуально;
• в парах;
• малыми исследовательскими группами.

Оптимальная продолжительность составляет 40–60 минут.

Желательно предварительно актуализировать знания обучающихся о:

• координатной плоскости;
• построении окружности;
• формуле корней квадратного уравнения;
• дискриминанте.

Содержание:

Анализ квадратного уравнения

Учащиеся определяют коэффициенты

ax²+bx+c=0

Затем вычисляют координаты трех опорных точек:

На данном этапе важно обратить внимание обучающихся, что координаты точки A остаются неизменными независимо от коэффициентов квадратного уравнения.

Построение

Учащиеся выполняют построение координатной плоскости.

Далее последовательно строятся точки: A; E (не всегда); S.

После этого проводится окружность с центром в точке S, проходящая через точку A.

Учителю рекомендуется не сообщать заранее ожидаемый результат, а предложить обучающимся самостоятельно предположить, какое значение имеют точки пересечения окружности с осью Ox.

Исследование

После построения учащиеся определяют:

• имеются ли точки пересечения;
• сколько их;
• чему равны их абсциссы.

Полученные значения сравниваются с корнями квадратного уравнения, найденными аналитическим способом.

Именно этот этап является центральным элементом исследования.

Проверка гипотезы

Обучающиеся делают вывод:

• совпадают ли найденные значения;
• всегда ли работает метод;
• от чего зависит число точек пересечения окружности с осью Ox.

На данном этапе удобно организовать обсуждение зависимости количества корней от значения дискриминанта.

Исследовательские задания

Для развития исследовательских компетенций рекомендуется предложить учащимся серию вопросов.

Например:

Как изменяется положение точки S при изменении коэффициента b?

Как влияет коэффициент c на положение точки E?

Что происходит при отрицательном дискриминанте?

Можно ли заранее определить количество точек пересечения окружности с осью Ox?

Как изменяется радиус окружности при различных коэффициентах?

Подобные задания переводят работу из репродуктивной в исследовательскую.

Использование цифровых технологий

После выполнения построений циркулем и линейкой рекомендуется выполнить аналогичные действия в цифровой среде.

Возможны различные варианты:

GeoGebra;

Desmos;

HTML-симулятор;

Python;

TRIK Studio;

электронные рабочие листы.

Сравнение ручного и компьютерного построений позволяет сформировать представление о математическом моделировании.

Формирование функциональной грамотности

Рабочий лист способствует развитию нескольких компонентов функциональной грамотности.

• Математическая грамотность
  • моделирование;
  • интерпретация результата;
  • использование различных способов решения.
• Естественно-научная грамотность
  • постановка гипотез;
  • проведение исследования;
  • анализ результатов.
• Цифровая грамотность
  • использование цифровых инструментов;
  • работа с интерактивными моделями.

Возможности дифференциации

Для сильных учащихся рекомендуется предложить:

• вывести формулы координат точки S самостоятельно;
• исследовать зависимость положения окружности от коэффициентов;
• реализовать метод средствами Python;
• сравнить метод А.А. Пресмана с методами Р. Декарта и Т. Карлейля.

Для учащихся, испытывающих затруднения, целесообразно использовать готовую координатную сетку и пошаговый алгоритм построения.

В завершение занятия рекомендуется предложить обучающимся ответить на вопросы.

Что нового удалось узнать?

Почему окружность позволяет находить корни квадратного уравнения?

Какие преимущества имеет данный метод перед использованием формулы дискриминанта?

Где можно использовать подобные геометрические методы?

Таким образом, рабочий лист позволяет организовать учебную деятельность таким образом, чтобы обучающиеся не просто освоили новый способ решения квадратных уравнений, а самостоятельно открыли математическую закономерность через построение, наблюдение и анализ.

Использование метода А.А. Пресмана способствует формированию исследовательских навыков, развитию пространственного мышления, установлению межпредметных связей между алгеброй и геометрией, а также демонстрирует возможности интеграции классических геометрических построений с современными цифровыми технологиями.

Такая форма работы соответствует требованиям обновлённых ФГОС и может эффективно использоваться как в урочной, так и во внеурочной деятельности, повышая познавательный интерес обучающихся к математике.