Решение квадратных уравнений с параметрами

Автор: Михайлова Марина Александровна

Организация: МБОУ СОШ №4

Населенный пункт: Республика Крым, г. Симферополь

1. Цель урока

Сформировать у учащихся представление о способах решения квадратных уравнений с параметрами и научить применять алгоритм исследования таких уравнений в зависимости от значения параметра.

 

2. Задачи урока

Образовательные

• повторить понятие квадратного уравнения и способы его решения;

• ввести понятие квадратного уравнения с параметром;

• показать роль дискриминанта и коэффициентов при исследовании уравнения с параметром;

• научить определять количество корней в зависимости от значения параметра.

Развивающие

• развивать логическое мышление, умение анализировать условия задачи;

• формировать навыки исследования математической модели;

• развивать математическую речь и умение делать выводы.

Воспитательные

• воспитывать аккуратность в записи решений;

• формировать познавательный интерес к алгебре;

• развивать самостоятельность и уверенность при выполнении заданий.

 

3. Планируемые результаты

Предметные

Учащиеся:

• знают, что такое квадратное уравнение с параметром;

• умеют находить дискриминант, содержащий параметр;

• умеют определять число корней в зависимости от значения параметра;

• умеют решать простейшие квадратные уравнения с параметрами.

Метапредметные

Учащиеся:

• умеют анализировать условие задачи;

• умеют строить рассуждение по алгоритму;

• умеют сравнивать случаи и делать выводы.

Личностные

Учащиеся:

• проявляют ответственное отношение к учебной деятельности;

• понимают значимость точности и последовательности в математических рассуждениях.

 

4. Тип урока

Урок изучения нового материала с элементами практической работы.

 

5. Оборудование и материалы

• учебник алгебры для 8 класса;

• доска, мел/маркеры;

• презентация или карточки с заданиями;

• раздаточный материал с алгоритмом решения;

• тетради, ручки;

• при наличии — проектор.

 

6. Ход урока

1. Организационный этап — 2 минуты

Деятельность учителя:

• приветствует учащихся;

• проверяет готовность к уроку;

• настраивает на рабочую атмосферу.

Деятельность учащихся:

• готовятся к уроку;

• настраиваются на работу.

 

2. Актуализация знаний — 5 минут

Цель этапа: повторить способы решения квадратных уравнений.

Учитель предлагает вопросы:

• 1. Как называется уравнение вида ?

  2. При каком условии уравнение является квадратным?

  3. Как найти дискриминант?

  4. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

  5. От чего зависит количество корней?

Ожидаемые ответы учащихся:

• квадратное уравнение имеет вид ;

• дискриминант: ;

• если — два корня, если — один корень, если — действительных корней нет.

Мини-задание у доски:

Решить уравнение: .

 

3. Постановка темы и цели урока — 3 минуты

Учитель:
Подводит учащихся к мысли, что иногда коэффициенты уравнения содержат буквы, причем одна буква рассматривается как переменная, а другая — как число, параметр.

Формулировка темы:
«Решение квадратных уравнений с параметрами».

Совместная постановка цели:
Научиться исследовать квадратные уравнения, в которых коэффициенты зависят от параметра, и определять корни в зависимости от его значений.

 

4. Изучение нового материала — 12 минут

4.1. Введение понятия

Учитель объясняет:
Уравнение с параметром — это уравнение, содержащее, кроме переменной, число, обозначенное буквой, значение которого считается известным, но может меняться.

Пример:

 

Здесь:

• x — переменная;

• a — параметр.

4.2. Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром

1. Убедиться, что уравнение является квадратным, то есть коэффициент при не равен нулю.

2. Найти дискриминант.

3. Исследовать знак дискриминанта в зависимости от параметра.

4. Определить количество корней.

5. При необходимости найти сами корни.

 

5. Первичное закрепление – 10 минут

 

5.1 Разбор примера

 

Пример:

Решить уравнение

Решение:

 

Следовательно, при любом значении a, значит, уравнение всегда имеет два корня.

Найдём корни:

 

Ответ:

 

5.2. Разбор примера с исследованием

 

Пример:

Решить уравнение
, в зависимости от a.

 

Решение:
D = (−2)² − 4a = 4 − 4a = 4(1 − a)

Тогда:

• если , то — два корня;
• если , то — один корень;
• если , то — действительных корней нет.

5.3 Пример

• При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно один корень?

○ Шаг 1: Если . Получаем (один корень, подходит).

○ Шаг 2: Если , уравнение квадратное. Количество корней равно 1, если D = 0.

○ Шаг 3: Считаем

○ Шаг 4: Приравниваем

○ Шаг 5: Ответ: или .

5.4 Пример (устно):

Определить количество корней уравнения

5.5 Пример (у доски и в тетрадях):

Решить уравнение

в зависимости от параметра a.

Решение:

 

• если или , то два корня;
• если или , то один корень;
• если , то действительных корней нет.

5.6 Пример (самостоятельно):

Исследовать уравнение

 

6. Самостоятельная работа — 8 минут

Вариант 1

1. Определить количество корней уравнения

2. При каких значениях a уравнение
   имеет один корень?

Вариант 2

1. Определить количество корней уравнения

2. При каких значениях a уравнение
   не имеет действительных корней?

Проверка: фронтально или по образцу на доске.

 

7. Подведение итогов урока — 3 минуты

Беседа по вопросам:

• Что нового узнали на уроке?

• Что называется параметром?

• Как исследовать квадратное уравнение с параметром?

• Как дискриминант помогает определить количество корней?

Вывод:
При решении квадратных уравнений с параметрами важно рассматривать параметр как известное число и исследовать, как от него зависит дискриминант.

 

8. Рефлексия — 2 минуты

Приём «Закончите фразу»:

• Сегодня на уроке я понял(а)...

• Мне было трудно...

• Теперь я умею...

• Больше всего мне запомнилось...

 

9. Домашнее задание — 3 минуты

1. Повторить алгоритм решения квадратных уравнений с параметром.

Решить:

2. Творческое задание: придумать собственное квадратное уравнение с параметром и исследовать его.