Формирование критического мышления на уроках математики

Автор: Хажикарова Фатимат Алихановна

Организация: МКОУ СОШ с.п. Урвань

Населенный пункт: Кабардино Балкарская республика, с.п. Урвань

Аннотация

В статье рассматривается проблема формирования критического мышления учащихся на уроках математики в контексте требований Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС). Автор опирается на труды отечественных и зарубежных учёных – Л.С. Выготского, Дж. Дьюи, Ж. Пиаже, Д. Халперн, Дж. Пойа, а также современных исследователей в области технологии развития критического мышления (И.О. Загашев, С.И. Заир-Бек, И.В. Муштавинская). В статье раскрывается суть критического мышления применительно к математическому образованию, представлена трёхэтапная структура урока (вызов – осмысление – рефлексия) с описанием конкретных задач учителя на каждом этапе. Особое внимание уделяется практическим приёмам («Верю – не верю», «Толстые и тонкие вопросы», кластер, корзина идей, ассоциативный куст) и типам заданий, развивающих критическое мышление: задачи с открытым ответом, противоречащими данными, на поиск закономерностей, анализ ошибок и построение контрпримеров, с избыточными или недостающими условиями. Автор предлагает методические рекомендации для учителя по созданию проблемных ситуаций, организации обсуждений, работе с ошибками и учёту возрастных особенностей учащихся. Статья адресована учителям математики, методистам и студентам педагогических специальностей и может быть использована как для повышения квалификации, так и для непосредственного планирования уроков, направленных на развитие аналитических и рефлексивных способностей школьников.

Ключевые слова и выражения: психология критического мышления; развитие мышления; теоретические основы, технологии критического мышления; практические приемы, методы; типы заданий для развития критического мышления на уроках математики.

Введение

В современном образовательном процессе одной из важнейших задач является формирование у учащихся критического мышления. Как справедливо отмечал выдающийся общественный деятель Мартин Лютер Кинг‑младший, «функция образования – научить мыслить интенсивно и мыслить критически. Интеллект плюс характер – вот цель истинного воспитания». Эти слова как нельзя лучше отражают суть современных требований к школе.

Федеральные государственные образовательные стандарты (ФГОС) нового поколения делают акцент на формировании универсальных учебных действий, среди которых центральное место занимает критическое мышление. Выпускник школы должен уметь гибко адаптироваться в быстро меняющихся жизненных ситуациях, самостоятельно приобретать необходимые знания, критически мыслить, видеть возникающие проблемы и искать пути их решения.

Математика как учебный предмет обладает высоким потенциалом для развития критического мышления, поскольку требует логической строгости и последовательности в рассуждениях. Однако на практике школьная математика часто сводится к алгоритмическому решению задач без глубокого осмысления. Главная цель учителя — научить детей самостоятельно анализировать условия, рассуждать, сравнивать различные подходы и делать обоснованные выводы.

 

Что такое критическое мышление применительно к математике?

Термин «критическое мышление» берёт своё начало у американского философа и педагога Джона Дьюи, который чаще всего использовал его как «рефлективное мышление» — «активное, последовательное и осторожное рассмотрение любого убеждения или предполагаемой формы знания в свете оснований, которые поддерживают его и следствия, к которым оно приводит». Таким образом, критическое мышление изначально понималось не как поиск недостатков, а как вдумчивый, взвешенный анализ.

Современные исследователи И.О. Загашев, С.И. Заир-Бек и И.В. Муштавинская определяют критическое мышление как «мышление оценочное, рефлексивное», для которого знание является не конечной, а отправной точкой, аргументированное и логичное мышление, которое базируется на личном опыте и проверенных фактах. В английском языке понятие «критическое мышление» означает «умение размышлять над тем, каким образом человек получает знания».

Известный психолог Д. Халперн в книге «Психология критического мышления» даёт следующее определение: «Критическое мышление – это использование когнитивных техник и стратегий, которые увеличивают вероятность получения желаемого конечного результата». Она также подчёркивает, что критическое мышление характеризуется «высоким уровнем восприятия, понимания, объективности» и представляет собой «использование таких методов познания, которые отличаются контролируемостью, обоснованностью и целенаправленностью».

В педагогической практике под критическим мышлением понимают «не критиканство, а проявление детской любознательности, выработку собственной точки зрения по определённому вопросу, способность отстоять её логическими доводами, использование исследовательских методов».

В математике критическое мышление проявляется через:

• анализ условий задачи;

• формулирование и проверку гипотез;

• аргументацию выбранного способа решения;

• рассмотрение альтернативных подходов.

Как отмечает Джордж Пойа, выдающийся математик и педагог, «наилучшие правила мышления нельзя получить как-то извне, их нужно выработать так, чтобы они вошли и в плоть, и в кровь, и действовали с силой инстинкта. Поэтому для развития мышления действительно полезным является только его упражнение».

 

Критическое мышление включает три взаимосвязанных компонента:

Когнитивный — владение мыслительными операциями (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение и др.).

Метакогнитивный — осознание и контроль мыслительных стратегий, оценка и корректировка действий.

Аффективный — мотивация к интеллектуальному поиску, толерантность к неопределённости, позитивное отношение к критике.

 

Критически мыслящий ученик на уроке математики способен:

• видеть проблему и формулировать её;

• анализировать условия задачи, выделять существенное и второстепенное;

• строить гипотезы и проверять их;

• аргументировать свою точку зрения;

• выявлять ошибки в рассуждениях (своих и чужих);

• переносить знания в новые ситуации;

• сомневаться, искать альтернативы;

• рассматривать проблему с разных сторон.

 

Теоретические основы технологии развития критического мышления.

В основе технологии формирования критического мышления через чтение и письмо лежит теория осмысленного обучения Л.С. Выготского. Великий психолог утверждал: «…всякое размышление есть результат внутреннего спора, так, как если бы человек повторял по отношению к себе те формы и способы поведения, которые он применял раньше к другим». Согласно мысли Выготского, «обучение в школе выдвигает мышление в центр сознательной деятельности ребенка», а «всё, что выходит за пределы рутины и в чём заключена хоть йота нового, обязано своим происхождением творческому процессу человека».

 

Технология развития критического мышления также опирается на идеи Джона Дьюи, Жана Пиаже и Л.С. Выготского о творческом сотрудничестве ученика и учителя, о необходимости развития в учениках аналитически-творческого подхода к любому материалу. Как подчёркивал Дьюи, «правильное построение обучения должно быть проблемным», а «фокусирование на проблемах стимулирует природную любознательность учеников и побуждает их к критическому мышлению».

 

Структура урока в рамках технологии развития критического мышления (ТРКМ) строится на трёх последовательных этапах, каждый из которых имеет свою суть и определяет задачи учителя.

 

Первый этап — «Вызов». Его суть заключается в пробуждении познавательного интереса у учащихся, актуализации уже имеющихся знаний и опыта по данной теме, а также в создании условий для возникновения внутренней мотивации к изучению нового материала. Задачи учителя на этом этапе — создать проблемную ситуацию, вызвать удивление, «зацепить» внимание учеников нестандартным вопросом или парадоксальным фактом, побудить их к высказыванию собственных предположений. Учитель также помогает детям обозначить границы своего незнания, чтобы в процессе дальнейшей работы они могли целенаправленно заполнять эти пробелы. Как справедливо отмечает В. Ружжеро, «необходимость критического мышления возникает тогда, когда появляется потребность… быть пытливым, испытывать удивление, искать ответы на вопросы» – именно на этапе вызова учитель создаёт условия для возникновения этой потребности.

 

Второй этап — «Осмысление» (или «Реализация смысла»). На этом этапе учащиеся погружаются в новую информацию, работают с текстом учебника, дополнительными материалами, условиями задач, анализируют, систематизируют и сравнивают полученные данные. Суть этапа – не пассивное восприятие, а активная переработка информации: выделение главного, установление причинно-следственных связей, фиксация непонятных моментов. Задачи учителя здесь — организовать самостоятельную работу учащихся с материалом, направить их поиск, предложить эффективные приёмы обработки информации (например, маркировку текста, ведение записей, составление кластеров), при этом сохраняя за учениками роль главных действующих лиц. Учитель выступает как тьютор, консультант, который задаёт уточняющие вопросы и помогает детям не потерять нить рассуждения, но не даёт готовых ответов.

 

Третий этап — «Рефлексия». Суть этого завершающего этапа состоит в осмыслении полученного опыта, обобщении изученного, формулировании выводов и интеграции нового знания в уже имеющуюся картину мира. Ученики возвращаются к первоначальным предположениям, сравнивают их с новыми знаниями, анализируют собственный путь решения, оценивают свои сильные и слабые стороны. Задачи учителя на этом этапе — помочь ученикам осознать, что нового они узнали, какие способы мышления освоили, как полученные знания можно применить в других жизненных или учебных ситуациях. Учитель организует итоговое обсуждение, предлагает задания на перенос знаний, побуждает детей к самооценке и взаимооценке, а также фиксирует результаты работы, чтобы сделать их достоянием всего класса. Именно на этом этапе, как подчёркивал Л.С. Выготский, «всякое размышление есть результат внутреннего спора», а рефлексия превращает внешний диалог во внутренний, формируя устойчивые навыки критического анализа.

 

Практические приёмы и методы

 

1. Приём «Верю — не верю»

Этот метод помогает активизировать знания и заинтересовать учеников. Учитель предлагает утверждения, а ученики должны оценить их правдивость.

Пример (5 класс, тема «Натуральные числа и шкалы»):

«Число 0 относится к натуральным числам» — опровергнуть.

«Луч имеет начало, но не имеет конца» — подтвердить.

«Координатный луч всегда направлен слева направо» — опровергнуть.

 

Как отмечал Рене Декарт, «по зависимости познания одной вещи от познания другой… мы тотчас же можем узнать, не будет ли полезным исследовать сначала что-нибудь другое, что именно и в каком порядке исследовать». Приём «Верю — не верю» как раз учит детей выстраивать такую зависимость и порядок исследования.

 

2. Приём «Толстые и тонкие вопросы»

Учеников учат различать вопросы, на которые можно дать однозначный ответ («тонкие»), и вопросы, предполагающие неоднозначные, развёрнутые ответы («толстые»).

Данная работа развивает умение задавать «умные» вопросы, заставляет вдумываться в материал и помогает лучше усвоить содержание.

 

3. Приём «Кластер»

Кластер — это приём систематизации материала в виде схемы (рисунка), когда выделяются смысловые единицы текста. Использовать его можно как на стадии вызова, так и на стадии рефлексии.

Пример: при изучении темы «Обыкновенные дроби» в центре кластера записывается ключевое понятие, а вокруг — связанные с ним элементы: числитель, знаменатель, правильная дробь, неправильная дробь, сокращение, сравнение, действия с дробями.

 

4. Приём «Корзина идей»

Класс делится на группы, каждая группа записывает всё, что знает по теме. После обсуждения и систематизации идей дети чувствуют себя настоящими исследователями.

 

5. Приём «Ассоциативный куст»

Ученики записывают слова, ассоциирующиеся с темой урока. Затем ассоциации обсуждаются и группируются. Это помогает выявить уровень знаний и создать атмосферу творчества.

 

Типы заданий для развития критического мышления

 

1. Задачи с открытым ответом

Задачи, которые имеют несколько возможных решений или путей решения. В рамках ФГОС использование задач открытого типа является важным компонентом развития критического мышления. Такие задания требуют от учащихся не только правильно решить задачу, но и аргументировать свои ответы, предлагать альтернативные пути решения, обосновывать выбор методов.

 

Пример (6–7 класс): Найдите все натуральные числа, которые при делении на 3 дают в остатке 2, а при делении на 5 — в остатке 1.

 

Ход урока:

Пусть искомое число *x*.

Запишите условия: *x* ≡ 2 (mod 3), *x* ≡ 1 (mod 5).

Как искать такие числа? (Пусть *x* = 3*k* + 2, далее перебираем значения *k* и проверяем второе условие.)

Придумайте, как найти общий способ для подобных задач.

Вопросы для рефлексии:

Почему не любой остаток совместим?

Можно ли обобщить задачу?

Как подчёркивал Джордж Пойа, «в решении любой задачи присутствует крупица открытия». Истинная цель обучения математике — не просто научить решать задачи по образцу, но «научить выпускника находить пути к решению проблем, а это значит – формировать у учащихся способность к самостоятельному, творческому мышлению».

 

2. Задачи с противоречащими данными

Задачи, в условии которых описываются объекты, которые не могут существовать в реальности, или данные противоречат друг другу. Такие задачи заставляют ученика усомниться в условии и проверить его на непротиворечивость.

Как писал Рене Декарт, «для современного критически мыслящего математика ничто не должно быть очевидным; и действительно, бывают вполне аналитичные случаи, когда кажется очевидным то, что на самом деле совершенно ложно». Именно способность подвергать сомнению очевидное и составляет суть критического мышления.

 

3. Задачи на поиск закономерностей

Задания, требующие обнаружения скрытых математических закономерностей. Они развивают аналитическое мышление, умение структурировать сложные задачи и синтезировать информацию.

 

4. Задачи на анализ ошибок и построение контрпримеров

Умение находить ошибки — один из ключевых навыков критического мышления. Важно не просто указывать на ошибку, а разбирать логическую цепочку, искать, где и почему возник сбой.

Как справедливо замечено в педагогической литературе, «умён не тот, кто не делает ошибок. Таких людей нет и быть не может. Умён тот, кто делает ошибки не очень существенные, и кто умеет легко и быстро исправлять их». Известный советский психолог А.Н. Леонтьев обоснованно считал, что «жизненный, правдивый подход к отдельным воспитательным и даже образовательным задачам… исходит из требования к человеку: каким человек должен быть в жизни и чем он должен быть для других.

этого вооружен, какими должны быть его знания, его мышление, чувства и т.д.».

Пример (задача-ловушка):

Ученик утверждает: «Если a > b, то a² > b²» (пример: 2 > 1 ⇒ 4 > 1 — верно!).

Вопросы учителя:

Всегда ли это так?

Придумайте контрпример.

Почему правило не работает для отрицательных чисел?

Другой пример (логическая ловушка):

Ученик утверждает: «Если сумма двух чисел делится на 3, то оба числа делятся на 3».

Задание: приведите пример, опровергающий это утверждение (например, 1 + 2 = 3).

Как отмечает В.А. Далингер, примеры и контрпримеры по математике являются «средством развития критического мышления учащихся». Именно через построение контрпримеров ученики учатся проверять истинность утверждений и развивают критическое отношение к информации.

 

5. Задачи с избыточными или недостающими данными

Проблемы, в которых есть лишняя информация или, наоборот, не хватает данных для решения. Ученик должен самостоятельно определить, какие данные нужны, а какие — нет.

Пример: «Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько потребуется землекопов, чтобы выкопать 100 м канавы за 100 часов?» — задача провоцирует на поиск закономерности и проверку логики.

 

Методические рекомендации для учителя:

 

1. Создавайте проблемные ситуации

Дидактическое моделирование проблемных ситуаций основывается на типологии учебных проблем, включающей четыре основных вида:

 

• проблемы на выявление закономерностей;

• проблемы с избыточными данными;

• проблемы с недостающими условиями;

• проблемы альтернативного решения.

 

Каждый из этих видов создаёт когнитивный диссонанс, стимулирующий учащихся к активному поиску решения, выдвижению и проверке гипотез. Как отмечал И.Я. Лернер, «в качестве одной из главных психических реальностей при исследовании творческих процессов мышления была открыта проблемная ситуация, которая… является начальным моментом мышления, источником творческого мышления». Академик Лернер также утверждал, что «обучение эффективно только в том случае, если у учителя есть надежный способ достижения целей, а он требует чёткости, возможности сопоставить достигнутое с желаемым».

 

2. Организуйте обсуждение решений

Поощряйте учеников объяснять свои решения и рассуждения. Задавайте вопросы, требующие развёрнутых ответов. Групповые формы работы позволяют ученикам слышать разные точки зрения и учиться аргументировать свою позицию.

 

Как показывают исследования, «критическое мышление эффективно развивается через диалог», что подтверждает идею о том, что исследовательский разговор, аргументация и диалог способствуют развитию высокого уровня мышления-.

 

3. Учите работе с информацией

 

Технология развития критического мышления формирует интеллектуальные умения, навыки работы с информацией, учит учиться. Ученики должны уметь не просто запоминать факты и формулы, но и развивать навыки самостоятельной работы, анализа и синтеза.

Основная идея технологии развития критического мышления заключается в том, «чтобы создать такую атмосферу учения, при которой учащиеся совместно с учителем активно работают, сознательно размышляют над процессом обучения, отслеживают, подтверждают…». Умение мыслить критически — это «не выискивание недостатков, а объективная оценка положительных и отрицательных сторон в познаваемом объекте».

 

4. Не бойтесь ошибок

Развитие критического мышления — это не разовые упражнения, а системная работа на каждом уроке. Ошибки учеников следует использовать как ценный дидактический материал для анализа и обсуждения. Как справедливо отмечает Джордж Пойа, «если хотите научиться решать задачи, то решайте их!». Именно через преодоление трудностей и анализ ошибок происходит подлинное развитие мышления.

 

5. Учитывайте возрастные особенности

Стадии интеллектуального развития, описанные Жаном Пиаже, показывают, что способность к абстракции и логическим рассуждениям формируется постепенно. Уроки математики должны учитывать когнитивные возможности учащихся разного возраста. Л.С. Выготский также подчёркивал, что «обучение в школе выдвигает мышление в центр сознательной деятельности ребенка», и именно школа призвана создать условия для его полноценного развития.

 

Заключение

 

Развитие критического мышления на уроках математики помогает учащимся не только лучше понимать материал, но и применять его в нестандартных ситуациях, развивает их аналитические способности и уверенность в себе. Систематическое использование приёмов ТРКМ — от «Верю — не верю» и «Толстых и тонких вопросов» до задач с открытым ответом и анализом ошибок — позволяет превратить урок математики из простого заучивания алгоритмов в пространство для подлинного интеллектуального поиска.

 

Как показывает педагогическая практика, применение технологии критического мышления на уроках математики позволяет оживить урок, сделать его увлекательным и эмоциональным; у детей повышается уровень работоспособности, усвоение знаний происходит в процессе постоянного поиска. Технология органично вписывается в требования ФГОС, делая урок ученико-центрированным, не заменяя, а обогащая традиционные методы.

 

Подводя итог, стоит вспомнить слова Джорджа Пойа: «умственный труд на уроках математики – пробный камень мышления»-. Именно математика, как никакой другой предмет, предоставляет уникальные возможности для развития критического мышления, учит детей не бояться сложных задач, сомневаться в очевидном, искать нестандартные решения и аргументировать свою позицию.

 

Формирование критического мышления — это не дополнительная нагрузка, а естественный и необходимый компонент современного математического образования, готовящий учеников к жизни в быстро меняющемся мире. Как справедливо заметил Джордан Элленберг, «математика – это наука о том, как не ошибаться, и она очень сильно влияет на нашу жизнь, несмотря на то что мы этого не осознаём». Быть математиком — это «не просто решать числовые задачи и выводить алгебраические формулы», а прежде всего — уметь мыслить критически, анализировать, сомневаться и находить истину.

 

Список литературы

 

1. Фундаментальные труды по психологии и педагогике критического мышления

 

Выготский Л. С. Мышление и речь / Л. С. Выготский. — М. : Лабиринт, 1999.

Дьюи Дж. Психология и педагогика мышления / Дж. Дьюи ; пер. с англ. Н. М. Никольской. — М. : Совершенство, 1997.

Пиаже Ж. Психология интеллекта / Ж. Пиаже. — СПб. : Питер, 2003.

Халперн Д. Психология критического мышления / Д. Халперн. — М. ; СПб. : Питер, 2000. -

Пойа Дж. Как решать задачу / Дж. Пойа. — М. : Учпедгиз, 1961.

 

2. Технология развития критического мышления (ТРКМ)

 

Загашев И. О., Заир-Бек С. И., Муштавинская И. В. Учим детей мыслить критически / И. О. Загашев, С. И. Заир-Бек, И. В. Муштавинская. — СПб. : Альянс «Дельта», 2003.

Заир-Бек С. И., Муштавинская И. В. Развитие критического мышления на уроке : пособие для учителя / С. И. Заир-Бек, И. В. Муштавинская. — М. : Просвещение, 2004.

Стил Дж., Мередит К., Темпл Ч., Уолтер С. Основы критического мышления : междисциплинарная программа / Дж. Стил, К. Мередт, Ч. Темпл, С. Уолтер. — М. : Изд-во Института «Открытое общество», 1997.

 

3. Методика развития критического мышления на уроках математики

 

Андронова О. В., Ястребов А. В. Формирование критического мышления учащихся на уроках математики / О. В. Андронова, А. В. Ястребов. — Saarbrücken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2014. -

Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс / М. Б. Балк, В. Г. Болтянский. — М. : Наука, 1987. -

 

4. Современные исследования и статьи (2022–2026 гг.)

 

Арефьева О. В. Разработка концептуальных требований к организации технологии развития критического мышления на уроке математики / О. В. Арефьева // Среднее профессиональное образование. — 2023. — № 2. — С. 45–49. -

Арефьева О. В., Арефьев Д. Д. Теоретические основы технологии развития критического мышления на современном уроке в школе и колледже / О. В. Арефьева, Д. Д. Арефьев // Среднее профессиональное образование. — 2022. — № 10. — С. 38–42. -

Ваганова Я. В., Вершинина С. В. Математические софизмы как способ формирования критического мышления на уроках математики / Я. В. Ваганова, С. В. Вершинина. — Текст : электронный // Вестник Тюменского государственного университета. — 2024. — № 4. — С. 112–123. — URL: elib.utmn.ru. -

Гаджимурадов М. А., Абасов Ш. М., Элипханов А. В. Формирование умений, лежащих в основе критического мышления, в условиях реализации системно-деятельностного подхода к образованию / М. А. Гаджимурадов, Ш. М. Абасов, А. В. Элипханов // Балтийский гуманитарный журнал. — 2024. — Т. 13, № 2. — С. 28–33. -

Смирнов В. А., Смирнова И. М. О развитии критического мышления учащихся при решении геометрических задач / В. А. Смирнов, И. М. Смирнова // Математика в школе. — 2020. — № 5. — С. 34–40. -

 

5. Нормативные документы

Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования : утв. приказом Минобрнауки России от 17.12.2010 № 1897 (с изм. и доп.). — М. : Просвещение, 2021.

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования : утв. приказом Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413 (с изм. и доп.). — М. : Просвещение, 2021.