Конспект урока по геометрии «Решение прикладных и стереометрических задач на вычисление объемов тел»

Автор: Поляк Мария Александровна

Организация: СОШ № 3, филиал МАОУ «СОШ № 2»

Населенный пункт: Тюменская область, г. Заводоуковск

Тип урока: Урок комплексного применения знаний и умений.

Время: 40 минут.

 

1. Личностная цель: Формирование интереса к решению нестандартных задач, развитие пространственного воображения и понимания практической значимости геометрии в технике, архитектуре и естественных науках.

Метапредметные цели (УУД):

Познавательные: Развитие умения анализировать условие, выдвигать гипотезы, выбирать стратегию решения, устанавливать причинно-следственные связи (от условия к искомым элементам).

Регулятивные: Формирование навыков самоконтроля и коррекции собственного решения, работы по алгоритму.

Коммуникативные: Совершенствование умения работать в группе, ясно и аргументированно излагать свою мысль, вести учебный диалог.

 

Предметные цели:

Знать: Формулы объёмов всех изученных многогранников и тел вращения.

Уметь: Применять формулы для решения комплексных задач, требующих дополнительных построений и рассуждений (сечения, комбинации тел, задачи на оптимизацию).

Применять: Решать практико-ориентированные задачи, связанные с вычислением объёмов сложных объектов.

 

2. Содержательный блок

Оргмомент. Мотивация. (3 мин)

Учитель показывает на доске изображения: «Что объединяет эти объекты?»

Все это и многое другое относится к понятию объема.

Сколько воды нужно, чтобы наполнить бассейн? Сколько сока поместится в кружке? И как определить, золотая корона или нет? (См. Рис. 1.)

Всегда при изучении такой темы возникают сложности: все и так понимают, что такое объем, ведь понятие объема появляется еще в начальной школе…

«Зачем нам, людям, нужно уметь вычислять их объём?» (Предполагаемые ответы учащихся: чтобы узнать вместимость, количество материала, стоимость).

Учащиеся формулируют цель урока: не просто вспомнить формулы, а научиться применять их для обоснования решений в практических ситуациях.

Актуализация опорных знаний. (5 мин.)

1. Игра «Домино».

На каждой парте комплект домино. Все карточки тщательно перетасовываются и кладутся рубашкой вверх в центре стола (это «банк»). Каждый ученик берет себе по 5 карточек. Остаток остается в банке. Ваша цель: первым выложить все свои карточки в одну непрерывную цепочку, правильно соединяя формулу объема с соответствующим ей изображением или названием фигуры.

Если в банке кончились карты, а у всех игроков нет подходящих карточек к открытым концам, игра останавливается. Побеждает тот, у кого меньше всего карт осталось на руках (или кто первый закроет цепочку).
Игрок, который выложил последнюю свою карточку, кричит «Объем!» и объявляется победителем. На игру - 2 минуты. На парту победителя приклеиваю стикер.

Фронтальная проверка (1 минута): Учитель открывает на доске эталонные формулы и обращает внимание на «точки риска»: «Vпирамиды = 1/3 Sосн·H – треть часто теряется!», «В призме объем – это Sосн·H, но H – это не боковое ребро, если призма наклонная!». Исправьте ошибки, дополните формулы.

Учащиеся оставят отметку о выполнении данного задания самостоятельно, используя дескриптор:

2. Индивидуальная работа с последующей самопроверкой.

Учащиеся решают задачи в рабочем листе. Время выполнения – 5 мин.

- Решите задачи, зачеркните буквы соответствующие ответам. Прочитайте слово из оставшихся букв.

1 вариант

1. Объем куба равен 64. Найдите площадь его полной поверхности.
Ответ: 96

2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а высота равна 4.
Ответ: 48

3. В прямой треугольной призме стороны основания равны 5, 12 и 13, а высота равна 10. Найдите объём призмы.
Ответ: 300

4. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объём.
Ответ: 8

5. Объём конуса равен 32π, а радиус его основания равен 4. Найдите высоту конуса.
Ответ: 6

 

2 вариант

1. Найдите объем цилиндра, высота которого 18, а радиус основания 2. В ответ запишите Vπ .

2. Объём конуса равен 75π, а его высота равна 9. Найдите радиус основания конуса.

3. Радиус шара 3см. Найдите объем шара. В ответ запишите Vπ .

4. Вычислите объём правильной пирамиды, если ее основание – четырёхугольник, со стороной равной 2см, а высота равна 6 см.

5. Найдите объём параллелепипеда, измерения которого равны 1 мм, 2 мм, 7 мм.

 

Ответ: ЭВРИКА.

- «Эврика!» («Нашел!») — именно этот возглас, согласно легенде, издал древнегреческий ученый и философ Архимед, открыв принцип вытеснения. Легенда гласит, что сиракузский царь Герон II попросил мыслителя определить, из чистого ли золота сделана его корона, не причиняя вреда самому царскому венцу. Взвесить корону Архимеду труда не составило, но этого было мало — нужно было определить объем короны, чтобы рассчитать плотность металла, из которого она отлита, и определить, чистое ли это золото.

Учащиеся ставят отметки о выполнении каждого задания:

 

Отметка о выполнении	Дескриптор
+	Решены все задачи, расшифровано слово «Эврика»
V	Решено не менее 3 задач, слово не расшифровано
-	Решено менее 3 задач, слово не расшифровано

 

 

3. Решим следующую задачу, заполните пропуски в решении (5 мин).

Задача: Антон, узнав про закон Архимеда, решил узнать массу своего тела. Исследователь взял на вооружение факт, что масса человеческого тела в килограммах численно приблизительно равна объёму тела в литрах. Антон налил надувной бассейн диаметром 150 см и поставил отметку уровня воды. После погружения мальчика в бассейн вода поднялась на 3 см. Найдите массу тела Антона.

Шаг 1:

Найдите площадь бассейна в квадратных дециметрах, ответ округлите до целых значений.

 

Решение

Радиус бассейна равен

r = 75 см = 7,5 дм.

Площадь бассейна:

S = πr² ≈ 3,14 ⋅ 7,5² ≈ 176,625 ≈ 177 (дм²).

Найдите массу тела Антона, результат округлите до целых значений.

m ≈

 

Найдите массу тела Антона, результат округлите до целых значений.

m ≈

Решение

По закону Архимеда при погружении в воду тела его объём равен объёму вытесненной жидкости.

Объём вытесненной жидкости можно найти по формуле V = S ⋅ h.

Вода в бассейне поднялась на h = 3 см = 0,3 дм, вычислим массу Антона:

m = S ⋅ h ≈ 177 ⋅ 0,3 ≈ 53,1 ≈ 53 (кг).

Учащиеся ставят отметку о выполнении, используя дескриптор:

+	Все выполнено верно
V	Допущена 1 вычислительная ошибка
-	Задача не решена

 

Учитель: Мы повторили с вами формулы. Теперь пришла пора применить наши знания на практике, решая задачи, которые помогут ответить на главный вопрос нашего урока: «Нужен ли объем в жизни?» Геометрия и вычисление объёмов — это не школьная абстракция. Это инструмент инженера, экономиста, логиста. Изучая формулы объёмов, мы на самом деле осваиваем ключ к пониманию того, как устроен реальный мир производства, строительства и транспорта.

 

3. Практикум «От простого к сложному» (15 минут)

Метод: Дифференцированное обучение, метод проектов (мини-проект)

Форма: Групповая работа (группы по типу задач).

Класс делится на группы по 4 человека, каждая группа получает конверт с заданием и роль.
Ваша проектная группа получает техническое задание. Вам 10 минут. Вы должны:

Каждый молча читает задачу и записывает на своём листе первый шаг решения и ответ. По кругу, по часовой стрелке, каждый предлагает свой шаг. Группа обсуждает и приходит к общему решению. Готовите краткий отчёт для класса: Чертёж, ключевая формула, ответ, одна возможная ошибка.

Карточки заданий для 4 групп:

Группа 1: СТРОИТЕЛИ

«Расчёт бетона для фундамента дома»

Вы рассчитываете материалы для фундамента небольшого дачного дома. Фундамент состоит из двух частей:

1. Цокольная часть: Прямоугольный параллелепипед (ленточный фундамент) высотой 0,5 м. Длина внешнего периметра — 24 м, ширина — 0,4 м.
2. Свайное поле: 9 бетонных свай цилиндрической формы, равномерно распределённых под домом. Диаметр каждой сваи — 0,3 м, глубина — 1,2 м.

Задания для группы:

1. Рассчитайте объём бетона для цокольной части.
2. Рассчитайте общий объём бетона для всех свай.
3. Найдите общий объём бетона, необходимый для фундамента (округлите до сотых).
4. Если один миксер привозит 6 м³ бетона, сколько нужно сделать заказов?

Группа 2: АНАЛИТИКИ

«Анализ эффективности упаковки»

Ваша компания тестирует новую упаковку для подарков. У вас есть два варианта:

• Вариант А: Коробка в форме куба.
• Вариант Б: Коробка в форме правильной четырёхугольной пирамиды (с крышкой).

Известно, что на изготовление КАЖДОЙ грани обоих коробок уходит одинаковое количество картона. Ребро куба равно 30 см. Высота пирамиды также равна 30 см.

Задания для группы:

1. Для куба: найдите его объём и площадь полной поверхности.
2. Для пирамиды: найдите сторону основания (она будет не 30 см!), используя условие равенства площадей поверхностей.
3. Найдите объём коробки-пирамиды.
4. Сравните объёмы двух коробок. Какая упаковка экономичнее (вместительнее) при одинаковых затратах на материал?

Группа 3: ПОВАРА

«Приготовление желе и планирование порций»

Вы — шеф-повар, готовите фирменное многослойное желе для банкета.

1. Основа (нижний слой): Желе заливается в большую прямоугольную форму-лоток размерами 50 см (длина) × 30 см (ширина) × 5 см (высота).
2. Декор (верхний слой): На застывшую основу выставляются пирамидальные элементы из другого желе. Каждый элемент — маленькая правильная четырёхугольная пирамида. Сторона основания пирамидки — 4 см, её высота — 6 см. Таких пирамидок будет 25 штук.

Задания для группы:

1. Рассчитайте, сколько литров желе нужно приготовить для основы (1 л = 1000 см³).
2. Найдите объём ОДНОЙ пирамидальной конфеты-желе.
3. Найдите общий объём желе, который уйдёт на все верхние декоративные элементы.
4. Рассчитайте ОБЩИЙ объём желе, который вам нужно приготовить для всего блюда (оба слоя вместе). Ответ выразите в литрах.

Группа 4: ЛОГИСТЫ

«Оптимизация груза в контейнере»

Вы планируете загрузку стандартного морского контейнера. Его внутренние размеры: длина 6 м, ширина 2,4 м, высота 2,4 м.
В него нужно загрузить два типа груза:

• Груз А: Коробки в форме куба с ребром 0,8 м.
• Груз Б: Бочки цилиндрической формы (диаметр = высота = 1 м).

Задания для группы:

1. Рассчитайте внутренний объём контейнера.
2. Найдите объём одной коробки (Груз А) и объём одной бочки (Груз Б).
3. Стратегия «Только кубы»: Если грузить контейнер только коробками, и они укладываются без зазоров (можно резать пространство мысленно), какое МАКСИМАЛЬНОЕ количество коробок можно поместить в контейнер? (*Указание: разделите длину/ширину/высоту контейнера на 0.8 м*).
4. Стратегия «Только бочки»: Если грузить контейнер только бочками, и они ставятся в один слой на пол, сколько бочек войдёт? (Указание: нарисуйте прямоугольник 6х2.4 м и разместите в нём круги диаметром 1 м).

Презентация работы: После решения попросить каждую группу кратко (1-2 мин) представить своё решение, сделав акцент на логике, а не на вычислениях.

Ключ для быстрой проверки учителем

Группа	Ответы (основные)
Строители	1. Чертёж. 2. V_цоколя = 24*0.4*0.5 = 4.8 м³. 3. V_1 сваи = π(0.15)²1.2 ≈ 0.085 м³; V_9 свай ≈ 0.76 м³. 4. V_общий ≈ 5.56 м³. 5. 1 миксер (6 > 5.56).
Аналитики	1. V_куба = 27000 см³; S_куба = 5400 см². 2. У пирамиды 5 граней (4 боковых + основание). S_одной грани пирамиды = 5400/5=1080 см². Основание — квадрат, его S=1080 см² ⇒ сторона a≈32.86 см. 3. V_пир = (1/3)*1080*30 = 10800 см³. 4. Куб вместительнее (27000 > 10800).
Повара	1. V_основы = 50*30*5 = 7500 см³ = 7.5 л. 2. V_1 пир = (1/3)4²6 = 32 см³. 3. V_25 пир = 32*25 = 800 см³. 4. V_общий = 7500+800=8300 см³ = 8.3 л. 5. 8300 / 150 ≈ 55 порций.
Логисты	1. V_конт = 6*2.4*2.4 = 34.56 м³. 2. V_куба = 0.512 м³; V_бочки = π(0.5)²1 ≈ 0.785 м³. 3. По длинe: 6/0.8=7.5 (7 шт). По ширине/высоте: 2.4/0.8=3 (3 шт). Итого: 7*3*3 = 63 коробки. 4. В ряд по длине: 6/1=6 шт. По ширине: 2.4/1=2.4 (2 шт). Итого в слое: 6*2= 12 бочек. 5. Выгоднее кубы (63*0.512 ≈ 32.3 м³ > 12*0.785 ≈ 9.42 м³).

Роль учителя: Ходит между группами, слушает, задаёт метапознавательные вопросы (вопросы о мышлении): «Как вы решили, с чего начать?», «Почему эта формула подходит, а другая нет?», «Все ли в группе согласны с этим шагом?».

«В работе какой профессии вам было интереснее всего решать задачу? Почему?»

4. Контрольный тест «Верю – не верю» (5 минут)

Форма: Индивидуальная письменная работа.

Учитель: Прочтите утверждение. Если согласны – ставьте «+», если нет – «–». На выполнение 5 минут.

Содержание теста:

1. 1. Объём пирамиды в 3 раза меньше объёма призмы с таким же основанием и высотой. (+)
   2. Если радиус шара увеличить в 3 раза, то его объём увеличится в 9 раз. (–, в 27 раз)
   3. Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. (+)
   4. В любой куб можно вписать сферу. (+)
   5. Отношение объёма вписанной в правильный тетраэдр сферы к его объёму постоянно и не зависит от размера тетраэдра. (+)
   6. Объём усечённой пирамиды нельзя вычислить как разность объёмов двух полных пирамид. (–, можно)

Проверка: Самопроверка по ключу. Учитель объявляет правильные ответы, учащиеся считают количество верных.

 

Итог урока (2 мин):

Учитель: «Сегодня мы прошли путь от формулы до сметы. Мы не просто вычисляли V, а добывали знания для принятия решений. Как вы думаете, какой главный вывод сегодня?» (Вывод: Геометрия объемов – это инструмент для инженера. Важен не только ответ, но и понимание, откуда взять данные для формулы).

 

5. Рефлексия. (3 мин.)

Рефлексия: "Объем" Вычислите «объем» своих знаний по данной теме используя формулу в рабочем листе.

Подсчет баллов за работу на уроке.

 

6. Домашнее задание (1 мин) – на выбор (дифференцированное):

Уровень 1 («Контролёр»): Решить 3 стандартные задачи из учебника на все виды тел.

Уровень 2 («Проектировщик»): Рассчитать объем и стоимость песка для песочницы в детском саду (заданной формы), используя актуальные цены в интернете.

Уровень 3 («Исследователь»): Подготовить мини-сообщение: «Пирамида Хеопса: как могли египтяне рассчитать объем? Какие альтернативные методы, кроме формул, существуют для определения объема тел сложной формы?»

Приложение 1

Пример рабочего листа