Методика обучения решению линейных неравенств c параметром

Автор: Зимина Анастасия Игорьевна

Организация: Школа 1955

Населенный пункт: г. Москва

В методике математики Ю.М. Колягина принято деление процесса решения учебной задачи на четыре основных этапа (осмысления условия задачи, составления лана решения, осуществления плана решения, изучение найденного решения).

На первом этапе процесса решения математической задачи имеют место осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка отдельных элементов условия, поиск необходимой информации в сложной системе памяти, соотнесение заключения и условия задачи с имеющимися знаниями и опытом и т.д.

На втором этапе происходят целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и искомых, попытки подвести под известный тип, выбор наиболее подходящего в данных условиях метода решения ( из известных), выбор плана решения, поиск плана решения и его корректировка из основы предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивных соображений, фиксирование определенного плана решения и т.д.

На третьем этапе проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способов оформления решения, записи результатов и т.д.

На четвертом этапе фиксируется конечный результат, поиск путей рационализации решения, исследование особых и частных случаев, выявление существенного , систематизация новых знаний и опыта и т.д.

Основные затруднения при решении задач возникают у учащихся прежде всего на начальном этапе процесса решения и на этапе поиска решения. Вместе с тем очень часто является трудной лишь потому, что учащиеся привыкли работать над задачей только в ситуации выбора, то есть отбирать одну из известных альтернатив (способа решения, теоретических положений и т.д.), полагаясь на свой прошлый опыт.

Трудности решения неравенства с параметрами вызываются тем, что в любом случае приходится производить ветвление параметров на отдельные классы, при каждом из которых неравенство имеет решение. При этом необходимо следить за равносильностью решаемых неравенств с учетом области определения входящих в них выражений и учитывать выполнимость отдельных операций.

В практике при решении неравенств с параметрами полезно руководствоваться следующими положениями:

1) Находится множество допустимых значений параметров.

2) Область определения неравенства находится как множество таких систем значений переменных ( числовых значений, выраженных через параметры и числа), при которых функции, представляющие левую и правую части неравенств, не теряют смысла.

3) Само решение неравенств может осуществляться по « функциональной схеме»:

1. Определяются область допустимых значений переменной.

2. После любого преобразования неравенства устанавливается область допустимых значений для каждого вновь полученного неравенства.

Если область допустимых значений для полученного неравенства шире области допустимых значений предыдущего, возможно приобретение посторонних решений. Те из найденных значений переменной, которые принадлежат области допустимых значений исходного неравенства, отбрасываются; те же которые, принадлежат этой области допустимых значений , должны пройти проверку по исходному неравенству, потому что принадлежность найденного значения переменной областью допустимых значений не гарантирует, что оно является решением исходного неравенства.

Если область допустимых значений полученного неравенства более узкое, чем область допустимых значений предыдущего, возможна потеря решений. Если действительно какое-то решение потеряно, то оно содержится в множестве, на которое произошло сужение области допустимых значений предыдущего неравенства, это соображение может помочь исчерпывающему решению неравенства.

1. Если область допустимых значений вновь полученного неравенства совпадает с областью допустимых значений предыдущего, то эти неравенства равносильны. Если все неравенства, полученные из данного последовательным их преобразованием, равносильны, то проверка найденных значений переменной не является логически необходимой, она производится только в порядке контроля вычислений или по методическим соображениям.

Так как проверка решений параметрических неравенств обычно бывает громоздкой и требует большого времени, то в ряде случаев по усмотрению учителя она может ограничиваься проверкой по области допустимых значений исходного неравества. При решении неравенства всегда имеют место элементы исследования. К исследованию неравенств относят выяснения вопросов об области определения неравенства, о множестве допустимых значений параметров, о множестве решений неравенства при каждой допустимой системе значений параметров, о возможности потери решений и приобретений посторонних решений. Если неравенство получилось при решении текстовой задачи или при указаний дополнительных условий, то можно: 1) решить неравенство без учета условий задачи или дополнительных условий и из полученных решений выбрать те, которые удовлетворяют указанным условиям; 2) определить ОДЗ для переменных и параметров с учетом указанных условий. Последовательное проведение функциональной точки зрения на неравенство позволяет включать элементы исследования на любом уровне изучения неравенств. []

Полный текст статьи см. в приложении.