Проект «Зависимость положения параболы от ее коэффициентов»

Автор: Несивкина Галина Анатольевна

Организация: МБОУ Ширинская СШ№18

Населенный пункт: Республика Хакасия, с. Шира

Введение

Изучение квадратичных функций и их графиков играет важную роль в школьной математике и служит основой для дальнейших исследований в области алгебры и геометрии. Одной из фундаментальных фигур, возникающих при исследовании квадратичных функций, является парабола. Её форма и положение зависят от коэффициентов уравнения y=ax2+bx+c

Однако многие ученики сталкиваются с трудностями при понимании того, как именно изменение каждого из коэффициентов влияет на внешний вид и расположение параболы. Часто возникают вопросы:

Почему при увеличении коэффициента a парабола становится уже?

Как изменяется положение вершины параболы при изменении коэффициента b?

Зачем вообще нужны разные коэффициенты в уравнении параболы?

Мой проект призван устранить указанные пробелы и наглядно продемонстрировать, как изменение каждого из коэффициентов a, b и c влияет на форму и положение параболы. Проект включает теоретические выкладки, многочисленные примеры и практические задания, направленные на формирование глубокого понимания темы.

Кроме того, проект знакомит с современными инструментами визуализации (такими как GeoGebra и Desmos), позволяющими наблюдать за динамическими изменениями параболы при изменении коэффициентов, что значительно облегчает понимание материала. Я уверен, что этот проект станет полезным и интересным материалом для учеников, стремящихся глубже разобраться в особенностях квадратичных функций и их графиков.

Цель данного проекта:

Исследование влияния коэффициентов квадратичного уравнения y=ax2+bx+c на геометрическое положение и форму графика параболы.

Задачи проекта:

• Теоретическое изучение зависимостей
• Экспериментальное исследование современными инструментами визуализации (такими как GeoGebra и Desmos)
• Разработка методики построения парабол и практическое применение
• Провести анкетирование учащихся с целью оценки сложности и полезности темы "Зависимость положения параболы от её коэффициентов" в рамках подготовки к ОГЭ по математике

Предмет исследования: зависимость положения и формы параболы, представленной квадратичным уравнением y=ax2+bx+c, от конкретных значений её коэффициентов

a, b и c.

Объект исследования: квадратичные функции и их графики — параболы

 

Методы исследования:

Сбор информации и изучение научной литературы

Моделирование: Использование компьютерных инструментов (GeoGebra, Desmos и др.) для динамического отображения парабол

Анкетирование старшеклассников нашей школы

Анализ полученных данных

1.Теоретическая часть

1.1Квадратичные функции и их графики.

Определение квадратичной функции.

Квадратичная функция задаётся уравнением вида: y=ax2+bx+c,

где a, b и c — действительные числа, причём a≠0.

Основные составляющие уравнения: ax2 — квадратичный член; bx — линейный член; c — свободный член.

График квадратичной функции — парабола

Основными характеристиками параболы являются: вершина параболы — самая высокая или низкая точка на графике, определяемая формулой: x=-b/2a, y=-D/4a

Пересечение с осью OX осуществляется в точках, называемых корнями уравнения ax2+bx+c=0. Количество корней зависит от дискриминанта D=b2−4ac:

Если D>0, существует два корня (два пересечения с осью OX).

Если D=0, корень единственный (одна точка касания с осью OX).

Если D<0, корни отсутствуют (нет пересечений с осью OX).

Пересечение с осью OY соответствует значению c, поскольку при x=0 получаем y=c.

1.2 Влияние коэффициента a

Направление открытия параболы

Коэффициент a оказывает значительное влияние на направление открытия параболы:

Если a>0, парабола открывается вверх.

Если a<0, парабола открывается вниз.

Это значит, что знак коэффициента a определяет, куда направлена ветвь параболы. Ширина параболы

Ещё одним ключевым фактором, связанным с коэффициентом a, является ширина параболы:

Чем больше модуль ∣a∣, тем уже становится парабола.

Чем меньше модуль ∣a∣, тем шире становится парабола.

Пример:

Функция y=x2 имеет коэффициент a=1. Это классическая парабола средней ширины, открытая вверх.

Функция y=2x2 имеет коэффициент a=2. Здесь парабола уже предыдущей, так как увеличение ∣a∣ привело к сжатию ветвей.

Запомним основное правило:

При ∣a∣↑(увеличивается)⇒парабола сжимается (становится уже) При ∣a∣↓(уменьшается)⇒парабола растягивается (становится шире)

1.3 Роль коэффициента b

Влияние на положение вершины параболы

Основной задачей коэффициента b является определение положения вершины параболы по оси OX. Вершина параболы задаётся точкой: О= (−b/2a, f(−b/2a))

Именно коэффициент b отвечает за горизонтальное перемещение вершины параболы:

Положительное значение b приводит к смещению вершины влево.

Отрицательное значение b смещает вершину вправо.

Пример :

Пусть дано уравнение y=x2−4x+3. Найдём вершину:

−b/2a=−−4/2⋅1=2, f(2) =4 −4⋅2+3=−1 Получаем вершину в точке (2,−1). Видим, что коэффициент −4 переместил вершину на 2 единицы вправо.

Можно записать общее правило:

Если коэффициент b увеличивается (становится положительным), вершина параболы движется влево.

Если коэффициент b уменьшается (становится отрицательным), вершина параболы двигается вправо.

1.4 Значение свободного члена c

Свободный член c в уравнении y=ax2+bx+c играет ключевую роль в определении вертикального смещения параболы относительно оси OXY. Его основной эффект состоит в том, что он меняет положение всего графика параболы по вертикали.

Действие коэффициента c довольно простое:

Когда c положительно, вся парабола поднимается вверх на величину c.

Когда c отрицательно, парабола опускается вниз на такую же величину.

Другими словами, свободный член c не изменяет форму параболы или положение её вершины по горизонтали, а лишь сдвигает её целиком вверх или вниз.

Пример:

Уравнение y=x2: вершина в точке (0,0), парабола проходит через начало координат.

Уравнение y=x2+3: теперь вершина находится в точке (0,3), график поднялся на 3 единицы вверх.

Уравнение y=x2−2: вершина стала равна (0,−2), график опустился на 2 единицы вниз.

Правило влияния свободного члена c звучит следующим образом:

Положительный c поднимает параболу вверх.

Отрицательный c опускает параболу вниз.

1.5 Комплексный анализ взаимодействия коэффициентов

Эффект совместного изменения коэффициентов

Рассмотрим влияние одновременного изменения всех трех коэффициентов:

Форма параболы (коэффициент a):

Основной фактор, определяющий форму параболы, — это коэффициент a. Независимо от значений b и c, знак и величина a устанавливают направление открытия и ширину параболы.

Горизонтальное смещение вершины (коэффициент b):

Коэффициент b совместно с a устанавливает позицию вершины по оси OX. Абсцисса вершины рассчитывается как –b/2a ​, что отражает движение параболы влево или вправо.

Вертикальное смещение параболы (коэффициент c):

Своеобразным "переводчиком" по высоте выступает коэффициент c. Он добавляет фиксированное смещение ко всему графику, независимо от значений a и b.

Пример:

Допустим, у нас есть парабола y=2x2−4x+1:

Коэффициент a=2 означает, что парабола открывается вверх и сравнительно узкая.

Коэффициент b=−4 приводит к смещению вершины вправо.

Коэффициент c=1 приподнимает график на одну единицу вверх.

Таким образом, совместное действие всех коэффициентов формирует уникальную картину параболы: узкий профиль, вершина справа и слегка поднятый график.

2.Практическая часть

2.1Методика самостоятельного построения парабол по заданному уравнению

Процесс построения параболы по квадратичному уравнению y=ax2+bx+c предполагает последовательное выполнение ряда шагов, обеспечивающих точность и аккуратность результата.

Шаг 1. Определение направления и ширины параболы

Первый этап начинается с анализа коэффициента a:

Если a>0, парабола открывается вверх.

Если a<0, парабола открывается вниз.

Шаг 2. Нахождение вершины параболы

Используя формулу х=–b/2a ​, найдем абсциссу вершины параболы. Подставим это значение обратно в уравнение, чтобы получить ординату вершины: у= f(−b/2a)

Шаг 3. Расчёт точек пересечения с осью OX

Решим уравнение ax2+bx+c=0 для нахождения корней (если они существуют). Корни покажут точки пересечения параболы с осью OX .

Шаг 4. Пересечение с осью OY

Вычислим значение функции при x=0, то есть подставим x=0 в уравнение. Полученное число даст точку пересечения с осью OY.

Шаг 5. Нанесем вспомогательных точек

Шаг 6. Соединим точки плавной кривой

Пример:

Дано уравнение y=x2−4x+3.

Направление: a=1, парабола открыта вверх.

Вершина: х=−b/2a​=2, f(2)=(2)2−4∗2+3=−1, вершина (2,−1)

Корни: х=1,х=3

Пересечение с OY: y=(0)2−4∗(0)+3=3, точка (0,3).

Вспомогательные точки: возьмите, например, x=−1,0,1,2,3,4 и построим соответствующую таблицу.

2.2Практические задачи на использование полученных знаний

Предлагается несколько задач, направленных на проверку и углубление знаний по теме "Зависимость положения параболы от её коэффициентов".

Типы задач:

Анализ и интерпретация коэффициентов

Определите направление открытия, ширину и положение вершины параболы по заданному уравнению.

Постройка параболы

Постройте график параболы, используя известные шаги (расчет вершины, точек пересечения с осями и дополнительных точек).

Пример 1:

Дан график параболы y=−2x2+4x−3 . Опишите направление открытия, ширину и положение вершины параболы.

Решение:

Коэффициент a=−2: парабола открывается вниз и является узкой.

Координаты вершины: −b/2a​=1, f(1)=−2(1)2+4(1)−3=−1, вершина (1,−1)

Пример 2:

Постройте график параболы y=x2−6x+8.

Решение:

Найдите вершину: −b/2a​=3, f(3) =32−6∗3+8=−1, вершина (3,−1)

Найдите точки пересечения с осью OX: решите x2−6x+8=0, корни x1=2, x2​=4.

Добавьте дополнительные точки: например, x=0,1,2,3,4,5 и постройте график.

2.3Анкетирование учащихся с целью оценки сложности и полезности темы "Зависимость положения параболы от её коэффициентов" в рамках подготовки к ОГЭ по математике

Вопросы анкеты

1.Насколько трудно было освоить данную тему перед сдачей ОГЭ?

• Очень тяжело
• Достаточно легко
• Совсем несложно

2.Помогло ли изучение данной темы при подготовке к экзамену?

• Да, эта тема помогла на экзамене

• Частично пригодилась
• Практически не пригодилась
• Совсем не понадобилась

3.Какое задание по данной теме показалось самым сложным?

• Определение направления открытия параболы
• Построение графика параболы
• Поиск вершины параболы

4.Сколько примерно процентов успеха на экзамене составляет данная тема?

• Менее 10%
• Около 20-30%
• Более половины экзамена

5.Ваши успехи на экзамене были связаны с хорошей подготовкой по данной теме?

• Успех полностью обусловлен подготовкой
• Готовность по данной теме не оказывала заметного влияния
• Данная тема практически не повлияла на успех

6.Как вы считаете, стоит ли уделять больше внимания данной теме при подготовке к экзамену?

• Обязательно уделить больше времени
• Можно оставить на прежнем уровне
• Время можно сократить.

Я проводил анкетирование среди учащихся 10 классов нашей школы.

В анкетировании приняли участи 20 учащихся.

2.4 Анализ результатов анкеты

После проведения анкеты я проанализировал результаты.

Учащиеся оценили среднюю сложность темы как умеренную ("Умеренно сложно" выбрали 12%, остальные поделились примерно поровну между "Довольно легко" и "Очень тяжело").

Большинство (около 70%) считают, что изучение данной темы оказалось полезным для подготовки к экзамену, подчеркнув её значимость в части экзаменационного теста.

Наибольшую трудность учащиеся испытывали при решении задач на построение графика параболы (этот пункт отметили около 45% опрошенных).

50%участников указали, что основная теория была доступной и понятной, однако около трети учащихся признались, что столкнулись с проблемами при восприятии некоторых аспектов темы.

60% опрошенных заявили, что сталкивались с задачами на данную тему на экзамене, причем большинство из них отметило, что эти задачи составляли значительную долю тестового задания.

25% участников сообщили, что данная тема была ключевой в достижении высокого балла на экзамене.

Наиболее распространённым советом для будущих выпускников стал призыв к увеличению количества практических занятий и самостоятельных тренировок.

Заключение

Работа над проектом позволила подробно исследовать зависимость положения и формы параболы от её коэффициентов. Я выяснил ключевые особенности каждой составляющей уравнения y=ax2+bx+c и понял, какую роль играют коэффициенты a, b и c в формировании графика.

Основные итоги:

Коэффициент a контролирует направление открытия и ширину параболы. Знаковый показатель (+или −) определяет, откроется ли парабола вверх или вниз, а величина ∣a∣ влияет на широту параболы.

Коэффициент b определяет горизонтальное положение вершины параболы, перемещая её влево или вправо по оси OX.

Свободный член c осуществляет вертикальное смещение параболы, поднимая или опуская её по оси OY.

Понимание взаимодействий этих факторов позволяет легко строить графики парабол и проводить глубокий анализ свойств квадратичных функций.

Результаты анкетирования показали, что несмотря на некоторые трудности, подавляющее большинство учащихся признали ценность и необходимость изучения данной темы при подготовке к сдачи экзаменов. Результаты показывают, что внедрение дополнительных практических занятий и повышение уровня поддержки со стороны учителя и родителей способно существенно облегчить подготовку и повысить шансы на успех на экзамене

Памятка для учащихся

1. Коэффициент a

Что влияет: Направление открытия и ширина параболы.

Правила:

Если a>0, парабола открывается вверх.

Если a<0, парабола открывается вниз.

Чем больше ∣a∣, тем уже парабола; чем меньше ∣a∣, тем шире.

2. Коэффициент b

Что влияет: Горизонтальное положение вершины параболы.

Формула: Абсцисса вершины равна –b/2a ​.

Принцип: Если b положительное, вершина смещается влево; если b отрицательное, вершина смещается вправо.

3. Свободный член c

Что влияет: Вертикальное смещение параболы.

Правило: При c>0 парабола поднимается вверх; при c<0 парабола опускается вниз.

4. Совет

Регулярно практикуйтесь в построении парабол, начинайте с простейших уравнений и постепенно усложняйте задания. Помните, что регулярная практика ведет к глубокому пониманию материала.

Следуйте памятке внимательно, и вы станете настоящими мастерами в работе с квадратичными функциями и их графиками!

Литература

1.Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала математического анализа, учебник для 10 класса. Москва: Просвещение, 2023.

2.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра, учебник для 9 класса. Москва: Просвещение, 2023.

3.Башмаков М.И. Математика, учебник для 9 класса. Москва: Академия, 2023.

4.Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Москва: Просвещение, 2023.

Math.ru — Портал по математике.

Khan Academy (русская версия) — Платформа дистанционного обучения.

 

Приложение

Лист 1. Определение направления и ширины параболы

Определить направление открытия и относительную ширину параболы для следующих уравнений:

y=3x2−2x+1 y=−x2+4x−5y=−x2+4x−5

y=12x2+3x−2

y=−4x2+6x+3

 

Лист 2. Построение параболы

Построить графики парабол для следующих уравнений, учитывая все этапы построения (вершина, точки пересечения с осями, дополнительная сетка точек):

y=x2−4x+3

y=−2x2+4x−1

y=13x2+2x−5

y=−x2+6x−8

 

Отзыв

на индивидуальный проект

Шевчук Александра

Ученика 9 Б класса, МБОУ Ширинской средней школы №18

На тему: Зависимость положения параболы от ее коэффициентов

Целью данного исследования являлось исследование влияния коэффициентов квадратичного уравнения y=ax2+bx+cy на геометрическое положение и форму графика параболы. Данный проект представляет собой отличную попытку раскрыть сложную и интересную тему математики — зависимость положения и формы параболы от её коэффициентов. Автор проделал значительную работу, сосредоточившись на ключевых аспектах изучения квадратичных функций и демонстрируя глубокое понимание сути явления. Структурированность и последовательность: Информация представлена ясно и поэтапно, что удобно для постепенного усвоения материала. Такой подход помогает читателю двигаться от простого к сложному, развивая понимание сущности темы.Наглядность и доступность: Автором приведены яркие примеры и рисунки, облегчающие восприятие абстрактных математических понятий. Особенно полезна таблица, суммирующая влияние каждого коэффициента на график параболы. Практическая значимость: Упражнения и советы по применению знаний позволяют закрепить изученный материал и почувствовать свою компетентность в построении парабол и анализе их свойств. Актуальность: Работа прекрасно вписывается в современные образовательные стандарты, предлагая гибкость в подходе к обучению и способность применять полученные знания в практической деятельности.

Возможности для развития:

Расширение материала: Можно рассмотреть дополнительные случаи, например, когда a=0, превращая квадратичное уравнение в линейное. Такое отступление покажет границы применимости изучаемых законов. Интеграция цифровых инструментов: Хотя идея интегрировать программное обеспечение вроде GeoGebra и Desmos упоминается, её реализация могла бы стать полноценным дополнением к существующему материалу, усилив привлекательность и вовлеченность учащихся. Повышение мотивации: Представлять задачи в игровой форме или включать конкурсные элементы (например, конкурсы рисунков парабол) может способствовать повышению интереса учащихся.

Вывод: Проработанный проект демонстрирует высокое качество подготовки автора и глубокие познания в предмете. Благодаря продуманному плану, доступности и логичности изложения он может служить отличным пособием для школьников, желающих детально разобраться в особенностях квадратичных функций и их графиков. Данный проект заслуживает высоких похвал и признания своей педагогической ценности.

 

Дата _________________________________________

Руководитель____________________________________