Теорема Фалеса: от древней геометрии к современным задачам

Автор: Варяница Елена Ивановна

Организация: МБОУ СОШ № 44

Населенный пункт: Свердловская область, г. Нижний Тагил

Практически каждый учащийся хотя бы раз задает вопрос о том, зачем ему нужны те или иные знания, которые он получает на уроках математики.

При изучении математики важно показать практическое применение нового материала. Есть темы, значимость которых очевидна, но встречаются те, практическая значимость которых видна не сразу.

Например, в учебнике «Геометрия. 7-9 класс» ( Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.) теорема Фалеса представлена как задача с готовым решением, на изучение которой отводится один урок. Ребята, изучающие математику на углубленном уровне, знают этот материал и умеют применять при решении задач. Но те, кто изучают математику на базовом уровне, не могут увидеть практическую ценность данного материала. Хотя с 2025 года в открытый банк заданий добавлены задачи, решаемые с помощью теоремы Фалеса.

Теорема Фалеса, названная в честь древнегреческого математика Фалеса Милетского, является одним из фундаментальных принципов геометрии. Она утверждает, что если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне угла, пропорциональны отрезкам, отсекаемым ими на другой стороне угла.

Звучит немного сложно, но на практике это означает, что мы можем использовать эту теорему для решения широкого спектра задач, от простых геометрических построений до более сложных инженерных расчетов.

Формулировка теоремы (в более простом виде):

Представьте себе угол, образованный двумя прямыми. Если мы проведем несколько параллельных прямых, пересекающих стороны этого угла, то отношение длин отрезков, образованных на одной стороне угла, будет равно отношению длин отрезков, образованных на другой стороне угла.

Применение на практике:

Теорема Фалеса находит применение в различных областях, включая:

1. Геометрические построения:

• Деление отрезка на равные части: Это, пожалуй, самое известное применение теоремы Фалеса. Предположим, вам нужно разделить отрезок на 5 равных частей, не имея под рукой линейки с делениями. Вы можете нарисовать луч, выходящий из одного конца отрезка, и отложить на нем 5 равных отрезков произвольной длины. Соедините конец последнего отрезка на луче с другим концом исходного отрезка. Затем проведите параллельные прямые через концы остальных отрезков на луче. Эти прямые разделят исходный отрезок на 5 равных частей.
• Построение отрезка, пропорционального данному: Если у вас есть отрезок определенной длины и вам нужно построить отрезок, длина которого будет в определенном отношении к исходному, теорема Фалеса может помочь. Например, если вам нужно построить отрезок, в два раза длиннее данного, вы можете использовать аналогичную процедуру, как и при делении отрезка на равные части.

2. Картография и масштабирование:

• Изменение масштаба карт и чертежей: Теорема Фалеса позволяет пропорционально увеличивать или уменьшать размеры карт и чертежей, сохраняя при этом правильные соотношения между объектами. Это особенно важно при создании карт разных масштабов.

3. Архитектура и строительство:

• Пропорциональное проектирование: Архитекторы и строители используют теорему Фалеса для обеспечения пропорциональности и гармонии в своих проектах. Она помогает им правильно масштабировать элементы зданий и сооружений, сохраняя эстетическую привлекательность и функциональность.
• Определение высоты недоступных объектов: Представьте, что вам нужно определить высоту дерева или здания, не имея возможности непосредственно измерить ее. Вы можете использовать теорему Фалеса, измерив длину своей тени и тени дерева (или здания) в один и тот же момент времени. Зная свой рост, вы сможете вычислить высоту дерева (или здания).

4. Навигация и геодезия:

• Определение расстояний на местности: Теорема Фалеса может быть использована для определения расстояний между объектами на местности, особенно в ситуациях, когда прямое измерение затруднено. Это может быть полезно в навигации и геодезии.

5. Искусство и дизайн:

• Создание перспективных изображений: Художники используют принципы, основанные на теореме Фалеса, для создания перспективных изображений, которые передают глубину и объем на плоской поверхности.

6. Современное применение:

В современном мире теорема Фалеса, хотя и не используется напрямую в сложных инженерных расчетах (где применяются более продвинутые математические методы), по-прежнему важна для понимания фундаментальных принципов геометрии и для обучения. Она является отличным инструментом для развития логического мышления и пространственного воображения.

Кроме того, принципы, основанные на теореме Фалеса, находят применение в:

• Компьютерной графике: При создании перспективных изображений и моделировании трехмерных объектов.
• Робототехнике: При планировании траекторий движения роботов и определении расстояний до объектов.
• Обработке изображений: При масштабировании и изменении перспективы изображений.
•  

Примеры задач и их решения с использованием теоремы Фалеса:

Пример 1: Деление отрезка на 3 равные части.

• Задача: Разделите отрезок AB на 3 равные части, используя только линейку и карандаш.
• Решение:
  1. Проведите луч AC, выходящий из точки A и не совпадающий с отрезком AB.
  2. Отложите на луче AC три равных отрезка: AD = DE = EF.
  3. Соедините точку F с точкой B.
  4. Проведите прямые DG и EH, параллельные FB (можно использовать угольник и линейку для построения параллельных прямых).
  5. Точки G и H разделят отрезок AB на три равные части: AG = GH = HB.

Пример 2: Определение высоты дерева.

• Задача: Определите высоту дерева, если длина вашей тени составляет 2 метра, длина тени дерева - 10 метров, а ваш рост - 1.7 метра.
• Решение:
  1. Представьте, что вы и дерево - это вертикальные отрезки, а солнечные лучи - это прямые, пересекающие эти отрезки.
  2. По теореме Фалеса, отношение вашей высоты к длине вашей тени равно отношению высоты дерева к длине его тени.
  3. Составим пропорцию: 1.7 / 2 = x / 10, где x - высота дерева.
  4. Решим пропорцию: x = (1.7 * 10) / 2 = 8.5 метров.
  5. Ответ: Высота дерева составляет 8.5 метров.

Пример 3: Масштабирование карты.

• Задача: На карте масштаба 1:10000 расстояние между двумя точками составляет 5 см. Каково будет расстояние между этими же точками на карте масштаба 1:20000?
• Решение:
  1. Масштаб 1:10000 означает, что 1 см на карте соответствует 10000 см (100 метров) на местности.
  2. Масштаб 1:20000 означает, что 1 см на карте соответствует 20000 см (200 метров) на местности.
  3. Расстояние на местности между двумя точками: 5 см * 10000 = 50000 см (500 метров).
  4. Расстояние на новой карте: 50000 см / 20000 = 2.5 см.
  5. Ответ: Расстояние между точками на карте масштаба 1:20000 будет 2.5 см.

Ограничения и важные замечания:

Несмотря на свою полезность, теорема Фалеса имеет некоторые ограничения, о которых важно помнить:

• Параллельность: Ключевым условием применения теоремы является параллельность прямых, пересекающих стороны угла. Если прямые не параллельны, теорема не работает, и результаты будут неверными.
• Плоскость: Теорема Фалеса справедлива для плоских фигур. В трехмерном пространстве необходимо использовать другие методы и принципы.
• Точность измерений: Точность результатов, полученных с использованием теоремы Фалеса, напрямую зависит от точности измерений. Небольшие погрешности в измерениях могут привести к значительным отклонениям в результатах.

Советы по применению теоремы Фалеса:

• Внимательно читайте условие задачи: убедитесь, что в задаче действительно выполняется условие параллельности прямых.
• Делайте чертежи: наглядный чертеж поможет вам лучше понять задачу и правильно применить теорему Фалеса.
• Составляйте пропорции: правильно составленная пропорция - ключ к успешному решению задачи.
• Проверяйте результаты: убедитесь, что полученные результаты имеют смысл и соответствуют условию задачи.

В заключение:

Теорема Фалеса - это не просто геометрическая теорема, это фундаментальный принцип, который лежит в основе многих явлений и процессов в окружающем мире. Ее понимание и умение применять открывает новые возможности для решения задач и понимания геометрии. Несмотря на свою древность, теорема Фалеса остается актуальной и полезной и в современном мире. Она является отличным инструментом для развития логического мышления, пространственного воображения и для понимания красоты и гармонии математики.

Литература:

Геометрия. Учебник 7-9 классы: базовый уровень: М34 учебник/ Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.– Изд.14-е, перераб. – М.: Просвещение, 2023. – 416 с.

Геометрия : 7—9-е классы : учебник : издание в pdf-формате / И. Ф. Шарыгин. — 9-е изд., стер. — М.: Просвещение, 2022. — 462с.

Теорема Фалеса. Формулы и примеры решения задач/ https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_19_17.php

Геометрия 8 класс. Урок 5, Теорема Фалеса / https://resh.edu.ru/subject/lesson/2502/main/

1. file0.docx (22,6 КБ)

Опубликовано: 16.07.2025