О разложении квадратного трёхчлена на множители

Автор: Приймук Татьяна Викторовна

Организация: ГБПОУ города Москвы МССМШ (колледж) имени Гнесиных

Населенный пункт: г. Москва

Аннотация. В данной статье автор предлагает советы из своего педагогического опыта к изучению темы «Разложение многочлена на множители способом группировки», направленные на повышение мотивации и вовлеченности учащихся в изучение данной темы в курсе алгебры 7 класса.

Ключевые слова: математика в музыкальном образовании, мотивация учащихся, учение с увлечением, «советы с улыбкой», разложение трёхчлена на множители способом группировки.

С разложением квадратного трёхчлена на множители российские школьники встречаются уже в 7-ом классе при изучении темы «Разложение многочлена на множители способом группировки». Поначалу им может быть непонятно, какое отношение имеет квадратный трёхчлен к способу группировки, ведь в нём только три члена, а для группировки требуется не менее четырёх. Конечно, сильные ученики догадаются, что трёхчлен надо превратить в четырёхчлен так, чтобы в каждой паре одночленов обязательно было хотя бы одно слагаемое с буквенным множителем. Да и в действующих учебниках алгебры можно найти похожие примеры, разобранные в тексте параграфов по данной теме. Например, в учебнике алгебры 7 класса под редакцией Теляковского есть толковый разбор разложения на множители одного квадратного трёхчлена.

Однако не всем учащимся удаётся овладеть этим навыком на достаточно высоком уровне, и им приходится ждать до 9 – го класса, когда в курсе алгебры будет изучена теорема о разложении квадратного трёхчлена на множители. Причин такого неуспеха может быть много, и они все разные.

Я преподаю математику в МССМШ имени Гнесиных, в которой обучаются талантливые и гениальные музыканты, и математика не является главным предметом для многих из них, да и невероятно насыщенная музыкальная жизнь юных дарований не оставляет им возможности долго и упорно заниматься алгеброй и геометрией. Поэтому мне очень хочется помочь моим семиклассникам и предложить им несколько советов из своего педагогического опыта, применение которых повысило бы их мотивацию и вовлекло в изучение этой интересной темы. Речь идёт о «советах с улыбкой», как я их называю, ибо они вызывают улыбку на устах моих учеников. Но согласитесь, что учиться весело, учиться с увлечением намного интереснее, чем просто отсиживать урок, а музыканты умеют ценить своё время и уважительно к нему относятся!

Сразу отмечу, что не каждый квадратный трёхчлен можно разложить на множители. Мы, учителя, это знаем, поэтому обязательно сразу скажем об этом нашим семиклассникам на уроке и пообещаем подробно осветить этот вопрос в 9-ом классе.

Но в этой статье, как и на уроках алгебры в 7-ом классе, мы будем говорить только о тех квадратных трёхчленах, которые можно разложить на множители способом группировки, и будем рассматривать только те из них, которые встречаются в учебниках алгебры для 7-го класса или подобны им.

Давайте вспомним, что квадратным трёхчленом в алгебре называют многочлен вида ax²+bx+c, где x-переменная, a, b, c – некоторые числа, причём a≠0.

Я в шутку называю старший коэффициент a квадратного трёхчлена «папой», средний коэффициент b – «мамой», а свободный член c или младший коэффициент - «сыном».

В 7 классе обычно предлагается разложить на множители те квадратные трёхчлены, старшие коэффициенты которых, то есть «папы», равны 1. Рассмотрим на конкретных примерах, какие ситуации в этом случае возможны.

Пример 1. Разложите на множители трёхчлен x²+3x+2.

Решение:

1)Обратим внимание на коэффициенты данного квадратного трехчлена:

«Папа»: a=1.

«Мама»: b=3.

«Сын»: c=2.

Все коэффициенты положительные, причём b> c («мама» больше «сына», она как бы может вместить его в себя).

2)В этом случае «мама» представляется в виде двух слагаемых, равных «папе» и «сыну» соответственно:

x² + 3x+2=x²+(1+2)x+2=x²+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2).

3)После решения этого примера целесообразно обратить внимание учащихся на тот факт, что 3=1+2, причём произведение слагаемых 1 и 2 равно значению свободного члена и значению произведения коэффициентов a и c.

Ответ: x²+3x+2=(x+1)(x+2).

Пример 2. Разложить на множители трёхчлен x²-6x+5.

Решение:

1)Обратим внимание на коэффициенты данного квадратного трёхчлена:

«Папа»: a=1.

«Мама»: b=-6.

«Сын»: c=5.

Здесь «мама» выражена отрицательным числом, модуль которого больше модуля «сына». В самом деле, │-6│=6 и 6>5.

2)В этом случае модуль «мамы» представляется в виде суммы двух слагаемых, равных «папе» и «сыну» соответственно:

x²-6x+5=x²-(1+5)x+5=x²-x-5x+5=x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5).

3)После решения этого примера вновь обратим внимание учащихся на удивительный факт, что -6=-1+(-5), и произведение слагаемых -1 и -5 равно значению свободного члена и значению произведения коэффициентов a и c.

Ответ: x²-6x+5 =(x-1)(x-5).

Пример 3. Разложите на множители трёхчлен x²+6x+8.

Решение:

1)Обратим внимание на коэффициенты данного квадратного трёхчлена:

«Папа»: a=1.

«Мама»: b=6.

«Сын»: c=8.

Здесь, как и в первом примере, все коэффициенты положительные, но есть и важное отличие: «сын» в этом трёхчлене больше «мамы», и «маме» уже никак не суметь вместить дитя в себя , но поскольку она любит своих дорогих мужчин, ей приходится подумать, как бы ей предстать в виде суммы двух слагаемых, которые в произведении дадут ей «сына» (или произведение «папы» и «сына», что одно и то же в рассматриваемых случаях), но второе слагаемое по модулю должно быть уже, конечно, меньше «сына».

2) Здесь «мама» представляется в виде суммы слагаемых 2 и 4, произведение которых равно 8:

x²+6x+8=x²+(2+4)x+8=x²+2x+4x+8=x(x+2)+4(x+2)=(x+2)(x+4).

3)Можно устно подчеркнуть, что слагаемые, на которые распался второй коэффициент, в произведении дают свободный член или значение произведения старшего и младшего коэффициентов.

Ответ: x²+6x+8=(x+2)(x+4).

Пример 4. Разложите на множители трёхчлен x²-8x+15

Решение:

1)Обратим внимание на коэффициенты данного квадратного трёхчлена:

«Папа»: a=1.

«Мама»: b=-8.

«Сын»: c=15.

Здесь, как и в примере 2, «мама» выражена отрицательным числом, но вновь, как и в примере 3, наблюдается отличие: модуль «мамы» меньше модуля «сына». В самом деле, │-8│=8 и 8<15.

2) Здесь модуль «мамы» представляется в виде двух слагаемых, произведение которых дает «сына» (или произведение «папы» и «сына», что здесь, повторим, одно и то же):

x²-8x+15=x²-(3+5)x+15=x²-3x-5x+15=x(x-3)-5(x-3)=(x-3)(x-5).

3) Можно устно подчеркнуть, что слагаемые, на которые распался второй коэффициент, в произведении дают свободный член или значение произведения старшего и младшего коэффициентов.

Ответ: x²-8x+15=(x-3)(x-5).

Пример 5. Разложите на множители трёхчлен x²+x-6.

Решение:

1)Обратим внимание на коэффициенты данного квадратного трёхчлена:

«Папа»: a=1.

«Мама»: b=1.

«Сын»: c=-6.

Это одна из самых сложных ситуаций в предлагаемой череде примеров. Чем же она знаменательна? Во-первых, здесь «мама» очень маленькая, она равна 1, и ей никак не предстать в виде суммы двух положительных целых слагаемых. Во-вторых, «сын» здесь по модулю значительно больше «папы» с «мамой», но вдобавок он отрицательный. Значит, «маме» придётся «занять у кого-то силы» (потом отдавать надо!) и предстать в виде суммы положительного и отрицательного целых слагаемых, по модулю отличающихся друг от друга на 1,причём модуль положительного слагаемого должен быть больше модуля отрицательного, а в произведении , как мы уже привыкли, дающих «сына» ( или произведение «папы» и «сына», что одно и то же в примерах 1-6, что мы не раз отмечали).

2)Здесь «мама» представляется в виде суммы двух слагаемых с разными знаками: 1=3+(-2), где произведение 3 и -2 равно «сыну»:

x²+x-6=x²+(3-2)x-6=x²+3x-2x-6=x(x+3) -2(x+3)=(x+3)(x-2).

3)Устно повторяем, что слагаемые, на которые распался второй коэффициент, в произведении дают свободный член или значение произведения старшего и младшего коэффициентов.

Ответ: x²+x-6=(x+3)(x-2).

Пример 6. Разложите на множители трёхчлен x²-x-12.

Этот пример решается аналогично примеру 5, но с учетом того, что здесь модуль «мамы» представляется в виде суммы целых слагаемых с разными знаками, которые в произведении дают -12.

Ответ: x²-x-12=(x-4)(x+3).

После решения этих примеров делаем с учащимися вывод и записываем его в тетрадь:

если требуется разложить на множители квадратный трёхчлен, старший коэффициент которого равен 1, то средний коэффициент этого трёхчлена следует представить в виде суммы двух целых слагаемых, произведение которых равно свободному члену (или произведению старшего и младшего коэффициентов, что одно и то же в этой ситуации).

Для интересующихся математикой семиклассников можно предложить «совет с улыбкой» к разложению на множители квадратного трёхчлена, старший коэффициент которого отличен от 1.

Пример 7. Разложить на множители трёхчлен 12x²+17x+6.

Решение:

1)Смотрим на коэффициенты:

«Папа»: a=12.

«Мама»: b=17.

«Сын»: c=6.

Здесь «папа» уже не равен 1, его обязательно надо учитывать. Семья коэффициентов квадратного трёхчлена следует завету «умно жить», поэтому надо умножить «папу» и «сына», то есть 12 и 6, их произведение равно 72. В этом задании «маме» нужно предстать в виде суммы двух таких целых слагаемых, произведение которых также равно 72. В сторонке от основной записи решения этого примера можно представить число 72 в виде произведения двух натуральных множителей и посмотреть, какие из них в сумме дают 17:

72=1∙72=2∙36=3∙24=4∙18=6∙12=8∙9. Замечаем, что 8+9=17.

2) Поэтому 12x²+17x+6=12x²+8x+9x+6=4x(3x+2) +3(3x+2) =(3x+2)(4x+3).

3) Устно проговариваем вывод.

Ответ: 12x²+17x+6=(3x+2)(4x+3).

Особо хочется выделить следующий пример, который внешне напоминает пример 7, но решаться может так же, как и примеры 1-6.

Пример 8. Разложить на множители трёхчлен 3x²-24x+45.

Решение: заметим, что все три коэффициента делятся на 3, поэтому

3x²-24x+45=3(x²-8x+15). Разложение на множители записанного в скобках трёхчлена разобрано в решении примера 4, откуда получаем, что 3(x²-8x+15) =3(x-5)(x-3).

Ответ: 3x²-24x+45 =3(x-5)(x-3).

«Советы с улыбкой» позволяют учащимся задуматься, привлекают их внимание к представленной в задании ситуации, учат обращать внимание на мелкие, но важные, детали (на коэффициенты трёхчлена в данном случае), предлагают порассуждать. Да и с житейской точки зрения, такие советы полезны: как видим из решения этих примеров, мамой быть нелегко. Мне радостно становится на уроках, когда ученики улыбаются, применяя мои советы, быстро, уверенно и с увлечением решают примеры, которые еще некоторое время назад вызывали у них затруднение.

В конце своей статьи хочу выразить надежду на то, что мои «советы с улыбкой» вызовут у читателей лишь позитивный настрой и помогут им в изучении и преподавании темы «Разложение многочлена на множители способом группировки» в курсе алгебры 7 класса.

Список литературы:

1. Алгебра, 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского.-М.: Просвещение,2023.

2. Разложение квадратного трёхчлена на множители доступным языком для учащихся, которые готовятся к ОГЭ и ЕГЭ. Статья от 22 января 2021 г. Автор: Себихов Александр. https://dzen.ru/a/YAmuSiAE-zkyV2Q6

1. file0.docx (25,2 КБ)

Опубликовано: 18.06.2025